Номер 48, страница 8 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

48. Диагональ равнобокой трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) равна 4 см, $\angle CDB = 36^\circ$, $\angle BDA = 48^\circ$. Найдите:

1) стороны трапеции;

2) радиус окружности, описанной около треугольника $BCD$.

48. Диагональ равнобокой трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) равна 4 см, $\angle CDB = 36^\circ$, $\angle BDA = 48^\circ$. Найдите:

1) стороны трапеции;

2) радиус окружности, описанной около треугольника $BCD$.

Дано: равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ ($BC \parallel AD$), диагональ $BD = 4$ см, $\angle CDB = 36^\circ$, $\angle BDA = 48^\circ$.

Для начала найдем углы трапеции. Угол при большем основании $AD$ состоит из двух данных углов: $\angle CDA = \angle CDB + \angle BDA = 36^\circ + 48^\circ = 84^\circ$. Так как трапеция равнобокая, углы при основаниях равны, поэтому $\angle DAB = \angle CDA = 84^\circ$. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$, поэтому углы при меньшем основании $BC$ равны: $\angle ABC = \angle BCD = 180^\circ - 84^\circ = 96^\circ$.

1) стороны трапеции

Рассмотрим треугольник $ABD$. Мы знаем два его угла: $\angle DAB = 84^\circ$ и $\angle BDA = 48^\circ$. Найдем третий угол: $\angle ABD = 180^\circ - (\angle DAB + \angle BDA) = 180^\circ - (84^\circ + 48^\circ) = 180^\circ - 132^\circ = 48^\circ$. Поскольку $\angle ABD = \angle BDA = 48^\circ$, треугольник $ABD$ является равнобедренным с основанием $BD$, следовательно, боковые стороны этого треугольника равны: $AB = AD$.

Применим теорему синусов для треугольника $ABD$: $\frac{AB}{\sin(\angle BDA)} = \frac{AD}{\sin(\angle ABD)} = \frac{BD}{\sin(\angle DAB)}$ $\frac{AB}{\sin(48^\circ)} = \frac{AD}{\sin(48^\circ)} = \frac{4}{\sin(84^\circ)}$ Отсюда находим боковую сторону трапеции $AB$ и ее большее основание $AD$: $AB = AD = \frac{4 \sin(48^\circ)}{\sin(84^\circ)}$ см.

Так как трапеция равнобокая, то ее боковые стороны равны: $CD = AB$. $CD = \frac{4 \sin(48^\circ)}{\sin(84^\circ)}$ см.

Теперь найдем меньшее основание $BC$. Рассмотрим треугольник $BCD$. Мы знаем углы этого треугольника: $\angle BCD = 96^\circ$ и $\angle CDB = 36^\circ$. Угол $\angle CBD$ является накрест лежащим с углом $\angle BDA$ при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$, поэтому $\angle CBD = \angle BDA = 48^\circ$. Применим теорему синусов для треугольника $BCD$: $\frac{BC}{\sin(\angle CDB)} = \frac{BD}{\sin(\angle BCD)}$ $\frac{BC}{\sin(36^\circ)} = \frac{4}{\sin(96^\circ)}$ $BC = \frac{4 \sin(36^\circ)}{\sin(96^\circ)}$ см. Используя свойство синуса $\sin(96^\circ) = \sin(180^\circ - 96^\circ) = \sin(84^\circ)$, получаем: $BC = \frac{4 \sin(36^\circ)}{\sin(84^\circ)}$ см.

Ответ: $AB = CD = AD = \frac{4 \sin(48^\circ)}{\sin(84^\circ)}$ см, $BC = \frac{4 \sin(36^\circ)}{\sin(84^\circ)}$ см.

2) радиус окружности, описанной около треугольника BCD

Пусть $R$ - радиус окружности, описанной около треугольника $BCD$. Согласно обобщенной теореме синусов: $2R = \frac{BD}{\sin(\angle BCD)}$ Подставим известные значения: $BD = 4$ см и $\angle BCD = 96^\circ$. $2R = \frac{4}{\sin(96^\circ)}$ $R = \frac{2}{\sin(96^\circ)}$ см. Так как $\sin(96^\circ) = \sin(180^\circ - 96^\circ) = \sin(84^\circ)$, то $R = \frac{2}{\sin(84^\circ)}$ см.

Ответ: $R = \frac{2}{\sin(84^\circ)}$ см.