Номер 55, страница 9 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

55. Две стороны треугольника равны 4 см и 8 см. Может ли его площадь быть равной:

1) 12 $\text{см}^2$;

2) 18 $\text{см}^2$?

55. Две стороны треугольника равны 4 см и 8 см. Может ли его площадь быть равной: 1) 12 $см^2$; 2) 18 $см^2$?

1)

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ — длины двух сторон, а $\gamma$ — угол между ними. По условию, $a = 4$ см и $b = 8$ см. Таким образом, площадь треугольника равна $S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 \cdot \sin\gamma = 16\sin\gamma$. Значение синуса для любого угла треугольника ($\gamma$) находится в пределах $0 < \sin\gamma \le 1$. Максимальная площадь достигается при $\sin\gamma = 1$ (когда угол $\gamma$ прямой) и составляет $S_{max} = 16 \cdot 1 = 16$ см². Чтобы площадь была равна 12 см², необходимо, чтобы выполнялось равенство $12 = 16\sin\gamma$. Отсюда $\sin\gamma = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$. Так как $0 < \frac{3}{4} \le 1$, такое значение синуса возможно, следовательно, и треугольник с такой площадью существует.

Ответ: да, может.

2)

Как было определено ранее, максимальная возможная площадь треугольника со сторонами 4 см и 8 см составляет 16 см². Поскольку $18 \text{ см}^2 > 16 \text{ см}^2$, площадь треугольника не может быть равной 18 см². Если бы мы предположили, что это возможно, то получили бы уравнение $18 = 16\sin\gamma$, из которого следует, что $\sin\gamma = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$. Это значение больше 1, что невозможно для синуса угла.

Ответ: нет, не может.