Номер 57, страница 9 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

57. Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ (рис. 2), $AO = OB$, $CO = 3$ см, $OD = 5$ см. Найдите отношение площадей треугольников $AOC$ и $DOB$.

57. Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ (рис. 2), $AO = OB$, $CO = 3 \text{ см}$, $OD = 5 \text{ см}$. Найдите отношение площадей треугольников $AOC$ и $DOB$.

Рис. 2

Для нахождения отношения площадей треугольников $AOC$ и $DOB$ воспользуемся формулой площади треугольника через две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$.

Площадь треугольника $AOC$ можно выразить как:

$S_{AOC} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot CO \cdot \sin(\angle AOC)$

Площадь треугольника $DOB$ можно выразить как:

$S_{DOB} = \frac{1}{2} \cdot DO \cdot OB \cdot \sin(\angle DOB)$

Углы $\angle AOC$ и $\angle DOB$ являются вертикальными, так как они образованы пересечением прямых $AB$ и $CD$. Следовательно, эти углы равны: $\angle AOC = \angle DOB$. Это также означает, что синусы этих углов равны: $\sin(\angle AOC) = \sin(\angle DOB)$.

Теперь найдем отношение площадей:

$\frac{S_{AOC}}{S_{DOB}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AO \cdot CO \cdot \sin(\angle AOC)}{\frac{1}{2} \cdot DO \cdot OB \cdot \sin(\angle DOB)}$

Сократим в дроби $\frac{1}{2}$ и равные синусы. Также из условия задачи известно, что $AO = OB$. Сократим и эти равные отрезки:

$\frac{S_{AOC}}{S_{DOB}} = \frac{AO \cdot CO}{DO \cdot OB} = \frac{CO}{DO}$

Подставим известные значения $CO = 3$ см и $OD = 5$ см:

$\frac{S_{AOC}}{S_{DOB}} = \frac{3}{5}$

Ответ: $\frac{3}{5}$