Номер 62, страница 10 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

62. В треугольник со сторонами 26 см, 15 см и 37 см вписана окружность, центр которой соединён с вершинами треугольника. Найдите площади трёх образовавшихся треугольников.

62. В треугольник со сторонами 26 см, 15 см и 37 см вписана окружность, центр которой соединён с вершинами треугольника. Найдите площади трёх образовавшихся треугольников.

Пусть дан треугольник со сторонами $a = 26$ см, $b = 15$ см и $c = 37$ см. Центр вписанной в него окружности ($O$) соединен с вершинами, образуя три новых треугольника. Основаниями этих треугольников являются стороны исходного треугольника, а их общей высотой — радиус вписанной окружности ($r$).

Площадь каждого из трех получившихся треугольников ($S_1, S_2, S_3$) вычисляется как половина произведения его основания на высоту:
$S_1 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot r$
$S_2 = \frac{1}{2} \cdot b \cdot r$
$S_3 = \frac{1}{2} \cdot c \cdot r$

Чтобы найти эти площади, необходимо сначала вычислить радиус вписанной окружности $r$. Радиус можно найти по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь исходного треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Вычисление полупериметра и площади исходного треугольника

Сначала найдем полупериметр $p$:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{26+15+37}{2} = \frac{78}{2} = 39$ см.

Теперь, используя формулу Герона, найдем площадь $S$:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
$S = \sqrt{39(39-26)(39-15)(39-37)} = \sqrt{39 \cdot 13 \cdot 24 \cdot 2}$
$S = \sqrt{24336} = 156$ см².

Вычисление радиуса вписанной окружности

Теперь мы можем найти радиус $r$:
$r = \frac{S}{p} = \frac{156}{39} = 4$ см.

Вычисление площадей трех образовавшихся треугольников

Зная радиус, находим площади искомых треугольников, где основаниями служат соответствующие стороны исходного треугольника:
Площадь первого треугольника: $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 26 \cdot 4 = 52$ см².
Площадь второго треугольника: $S_2 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 4 = 30$ см².
Площадь третьего треугольника: $S_3 = \frac{1}{2} \cdot 37 \cdot 4 = 74$ см².

Ответ: площади трёх образовавшихся треугольников равны 52 см², 30 см² и 74 см².