Номер 68, страница 10 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

68. Катет равнобедренного прямоугольного треугольника равен 4 см. На сторонах треугольника во внешнюю сторону построены квадраты. Найдите площадь шестиугольника, вершинами которого являются вершины квадратов, не принадлежащих данному треугольнику.

68. Катет равнобедренного прямоугольного треугольника равен 4 см. На сторонах треугольника во внешнюю сторону построены квадраты. Найдите площадь шестиугольника, вершинами которого являются вершины квадратов, не принадлежащих данному треугольнику.

Пусть дан равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. По условию, его катеты равны 4 см: $AC = BC = 4$ см.

1. Найдем характеристики исходного треугольника.
Площадь треугольника $ABC$ вычисляется как половина произведения катетов: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$ см$^2$.
Длину гипотенузы $AB$ найдем по теореме Пифагора: $AB^2 = AC^2 + BC^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$.
$AB = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ см.
Так как треугольник равнобедренный и прямоугольный, его острые углы равны $45^\circ$: $\angle CAB = \angle CBA = 45^\circ$.

2. Рассмотрим построенные квадраты.
На сторонах треугольника во внешнюю сторону построены три квадрата. Найдем их площади:

• Площадь квадрата, построенного на катете $AC$: $S_1 = AC^2 = 4^2 = 16$ см$^2$.
• Площадь квадрата, построенного на катете $BC$: $S_2 = BC^2 = 4^2 = 16$ см$^2$.
• Площадь квадрата, построенного на гипотенузе $AB$: $S_3 = AB^2 = (4\sqrt{2})^2 = 32$ см$^2$.

3. Определим структуру шестиугольника.
Шестиугольник, о котором идет речь в задаче, — это фигура, образованная внешними границами построенных квадратов. Его площадь складывается из площадей исходного треугольника, трех квадратов на его сторонах и трех дополнительных треугольников, которые заполняют "промежутки" между квадратами у вершин исходного треугольника. Таким образом, общая площадь $S_{шест}$ равна: $S_{шест} = S_{ABC} + S_1 + S_2 + S_3 + S_{T1} + S_{T2} + S_{T3}$, где $S_{T1}, S_{T2}, S_{T3}$ — площади трех дополнительных треугольников.

4. Найдем площади дополнительных треугольников.

• Треугольник у вершины C. Его стороны являются сторонами квадратов, построенных на катетах, поэтому их длины равны $4$ см. Угол между этими сторонами равен $360^\circ$ минус сумма углов, сходящихся в точке C: угол треугольника ($90^\circ$) и два угла квадратов (по $90^\circ$). Угол = $360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Площадь этого треугольника: $S_{T_C} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \cdot \sin(90^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 1 = 8$ см$^2$.
• Треугольник у вершины A. Его стороны являются сторонами квадратов, построенных на катете $AC$ (длина $4$ см) и гипотенузе $AB$ (длина $4\sqrt{2}$ см). Угол между ними равен $360^\circ$ минус угол треугольника ($45^\circ$) и два угла квадратов (по $90^\circ$). Угол = $360^\circ - 45^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 135^\circ$. Площадь этого треугольника: $S_{T_A} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \sin(135^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 16\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8$ см$^2$.
• Треугольник у вершины B. Аналогично треугольнику у вершины A, его стороны равны $4$ см и $4\sqrt{2}$ см, а угол между ними $135^\circ$. Его площадь также равна $8$ см$^2$.

Интересно, что площадь каждого из трех дополнительных треугольников равна площади исходного треугольника $ABC$.

5. Вычислим итоговую площадь шестиугольника.
Сложим площади всех составляющих его частей: $S_{шест} = S_{ABC} + S_1 + S_2 + S_3 + S_{T_A} + S_{T_B} + S_{T_C}$
$S_{шест} = 8 + 16 + 16 + 32 + 8 + 8 + 8$
$S_{шест} = (16 + 16 + 32) + (8 + 8 + 8 + 8) = 64 + 32 = 96$ см$^2$.

Ответ: 96 см$^2$.