Номер 74, страница 11 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

74. Определите количество сторон правильного многоугольника, если угол, смежный с углом многоугольника, составляет $\frac{2}{3}$ угла многоугольника.

74. Определите количество сторон правильного многоугольника, если угол, смежный с углом многоугольника, составляет $ \frac{2}{3} $ угла многоугольника.

Пусть $\alpha$ – это внутренний угол правильного многоугольника, а $\beta$ – это смежный с ним внешний угол.

По определению смежных углов, их сумма равна $180^\circ$. Таким образом, мы можем записать первое уравнение:
$\alpha + \beta = 180^\circ$

Согласно условию задачи, внешний угол составляет $\frac{2}{3}$ от внутреннего угла. Это дает нам второе уравнение:
$\beta = \frac{2}{3}\alpha$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим второе уравнение в первое, чтобы найти значение угла $\alpha$:
$\alpha + \frac{2}{3}\alpha = 180^\circ$
$\frac{3}{3}\alpha + \frac{2}{3}\alpha = 180^\circ$
$\frac{5}{3}\alpha = 180^\circ$
$\alpha = 180^\circ \cdot \frac{3}{5} = 36^\circ \cdot 3 = 108^\circ$

Зная внутренний угол, мы можем найти внешний угол $\beta$:
$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$

Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника равна $360^\circ$. Для правильного $n$-угольника все внешние углы равны, поэтому величину одного внешнего угла можно найти по формуле:
$\beta = \frac{360^\circ}{n}$
где $n$ – количество сторон многоугольника.

Выразим из этой формулы количество сторон $n$:
$n = \frac{360^\circ}{\beta}$

Подставим найденное значение $\beta = 72^\circ$:
$n = \frac{360^\circ}{72^\circ} = 5$

Таким образом, искомый многоугольник имеет 5 сторон. Это правильный пятиугольник.

Ответ: 5.