Номер 70, страница 10 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

70. В окружность вписан четырёхугольник, стороны которого последовательно равны 3 см, 5 см, 8 см и 10 см. Найдите площадь четырёхугольника.

70. В окружность вписан четырёхугольник, стороны которого последовательно равны 3 см, 5 см, 8 см и 10 см. Найдите площадь четырёхугольника.

Поскольку четырехугольник вписан в окружность, для нахождения его площади можно использовать формулу Брахмагупты. Эта формула позволяет вычислить площадь вписанного четырехугольника по его сторонам.

Формула Брахмагупты для площади $S$ выглядит следующим образом:

$S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$

Здесь $a, b, c, d$ — длины сторон четырехугольника, а $p$ — его полупериметр, который вычисляется по формуле:

$p = \frac{a+b+c+d}{2}$

В нашем случае стороны четырехугольника равны $a = 3$ см, $b = 5$ см, $c = 8$ см и $d = 10$ см.

1. Вычислим полупериметр $p$.

Подставим длины сторон в формулу для полупериметра:

$p = \frac{3 + 5 + 8 + 10}{2} = \frac{26}{2} = 13$ см.

2. Вычислим площадь $S$ по формуле Брахмагупты.

Теперь подставим найденный полупериметр и длины сторон в формулу площади:

$S = \sqrt{(13-3)(13-5)(13-8)(13-10)}$

Выполним вычитание в скобках:

$S = \sqrt{10 \cdot 8 \cdot 5 \cdot 3}$

Перемножим числа под корнем:

$S = \sqrt{1200}$

Упростим полученное значение, вынеся множитель из-под знака корня:

$S = \sqrt{400 \cdot 3} = \sqrt{400} \cdot \sqrt{3} = 20\sqrt{3}$

Таким образом, площадь четырехугольника равна $20\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $20\sqrt{3}$ см$^2$.