Номер 73, страница 11 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

73. На рисунке 4 изображён правильный шестиугольник $ABCDEF$, $K$ — точка пересечения прямых $DE$ и $AF$. Найдите угол $AKD$.

Рис. 4

73. На рисунке 4 изображён правильный шестиугольник $ABCDEF$, $K$ — точка пересечения прямых $DE$ и $AF$. Найдите угол $AKD$.

Рис. 4

Поскольку $ABCDEF$ — правильный шестиугольник, все его стороны равны, и все его внутренние углы равны.

Сумма внутренних углов n-угольника вычисляется по формуле $(n-2) \times 180^\circ$. Для шестиугольника (где $n=6$) сумма углов равна $(6-2) \times 180^\circ = 4 \times 180^\circ = 720^\circ$.

Каждый внутренний угол правильного шестиугольника равен $720^\circ / 6 = 120^\circ$. Таким образом, $\angle EFA = 120^\circ$ и $\angle DEF = 120^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle EFK$. Точка $K$ — точка пересечения прямых $DE$ и $AF$. Это означает, что точки $A, F, K$ лежат на одной прямой, и точки $D, E, K$ также лежат на одной прямой.

Угол $\angle KFE$ является смежным с внутренним углом шестиугольника $\angle EFA$. Следовательно, их сумма равна $180^\circ$.

$\angle KFE = 180^\circ - \angle EFA = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Аналогично, угол $\angle KEF$ является смежным с внутренним углом $\angle DEF$.

$\angle KEF = 180^\circ - \angle DEF = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Теперь у нас есть два угла в треугольнике $\triangle EFK$: $\angle KFE = 60^\circ$ и $\angle KEF = 60^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем третий угол, $\angle FKE$.

$\angle FKE = 180^\circ - (\angle KFE + \angle KEF) = 180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Угол $\angle AKD$ является тем же углом, что и $\angle FKE$, так как они образованы пересечением тех же прямых $AF$ и $DE$.

Таким образом, $\angle AKD = \angle FKE = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.