Номер 77, страница 11 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

77. Пусть $a_3$ — сторона правильного треугольника, $R$ и $r$ — соответственно радиусы описанной около него и вписанной в него окружностей. Заполните таблицу (размеры даны в сантиметрах).

$a_3$ $R$ $r$

$9\sqrt{3}$

$2\sqrt{3}$

$4$

77. Пусть $a_3$ — сторона правильного треугольника, $R$ и $r$ — соответственно радиусы описанной около него и вписанной в него окружностей. Заполните таблицу (размеры даны в сантиметрах).

Для заполнения таблицы необходимо использовать формулы, связывающие сторону правильного (равностороннего) треугольника $a_3$ с радиусом описанной около него окружности $R$ и радиусом вписанной в него окружности $r$.

Основные формулы:

• Связь стороны и радиуса описанной окружности: $R = \frac{a_3}{\sqrt{3}}$, откуда $a_3 = R\sqrt{3}$.
• Связь стороны и радиуса вписанной окружности: $r = \frac{a_3}{2\sqrt{3}}$, откуда $a_3 = 2r\sqrt{3}$.
• Связь между радиусами описанной и вписанной окружностей: $R = 2r$.

Используя эти соотношения, вычислим недостающие значения для каждой строки таблицы.

Для первой строки, где $a_3 = 9\sqrt{3}$

Дана сторона $a_3 = 9\sqrt{3}$.
Найдём радиус описанной окружности $R$:
$R = \frac{a_3}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 9$.
Теперь найдём радиус вписанной окружности $r$, используя соотношение $R=2r$:
$r = \frac{R}{2} = \frac{9}{2} = 4,5$.

Ответ: $R=9$, $r=4,5$.

Для второй строки, где $R = 2\sqrt{3}$

Дан радиус описанной окружности $R = 2\sqrt{3}$.
Найдём сторону треугольника $a_3$:
$a_3 = R\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 3 = 6$.
Найдём радиус вписанной окружности $r$:
$r = \frac{R}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Ответ: $a_3=6$, $r=\sqrt{3}$.

Для третьей строки, где $r = 4$

Дан радиус вписанной окружности $r = 4$.
Найдём радиус описанной окружности $R$:
$R = 2r = 2 \cdot 4 = 8$.
Теперь найдём сторону треугольника $a_3$:
$a_3 = 2r\sqrt{3} = 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{3} = 8\sqrt{3}$.

Ответ: $a_3=8\sqrt{3}$, $R=8$.