Номер 84, страница 12 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

84. Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен 8 см, а радиус окружности, вписанной в него, — $4\sqrt{3}$ см. Найдите сторону многоугольника и количество его сторон.

84. Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен 8 см, а радиус окружности, вписанной в него, — $4\sqrt{3}$ см. Найдите сторону многоугольника и количество его сторон.

Пусть $R$ — радиус описанной окружности, $r$ — радиус вписанной окружности, $a$ — сторона правильного многоугольника, а $n$ — количество его сторон.
По условию задачи имеем:
$R = 8$ см
$r = 4\sqrt{3}$ см

Нахождение стороны многоугольника

Для правильного многоугольника радиусы вписанной и описанной окружностей и половина стороны образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике гипотенузой является радиус описанной окружности $R$, а катетами — радиус вписанной окружности $r$ и половина стороны многоугольника $\frac{a}{2}$.
Согласно теореме Пифагора:
$R^2 = r^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$
Подставим известные значения:
$8^2 = (4\sqrt{3})^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$
$64 = 16 \cdot 3 + \frac{a^2}{4}$
$64 = 48 + \frac{a^2}{4}$
$\frac{a^2}{4} = 64 - 48$
$\frac{a^2}{4} = 16$
$a^2 = 16 \cdot 4 = 64$
$a = \sqrt{64} = 8$ см
Ответ: сторона многоугольника равна 8 см.

Нахождение количества сторон

Радиусы вписанной и описанной окружностей для правильного n-угольника связаны соотношением:
$r = R \cdot \cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$
Подставим известные значения $R$ и $r$:
$4\sqrt{3} = 8 \cdot \cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$
Выразим косинус угла:
$\cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right) = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Это известное значение косинуса. Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, составляет $30^\circ$.
Следовательно:
$\frac{180^\circ}{n} = 30^\circ$
Отсюда находим $n$:
$n = \frac{180^\circ}{30^\circ} = 6$
Таким образом, данный многоугольник является правильным шестиугольником.
Ответ: количество сторон многоугольника равно 6.