Номер 88, страница 12 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

88. Сторона правильного восьмиугольника $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$ равна 6 см. Найдите диагонали $A_1A_3$, $A_1A_4$ и $A_1A_5$.

88. Сторона правильного восьмиугольника $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$ равна 6 см. Найдите диагонали $A_1A_3$, $A_1A_4$ и $A_1A_5$.

Для решения задачи воспользуемся свойствами правильного восьмиугольника, вписанного в окружность. Пусть $a$ — сторона восьмиугольника, а $R$ — радиус описанной окружности. По условию, $a = 6$ см.

Сначала найдем радиус $R$ описанной окружности. Центральный угол, соответствующий одной стороне правильного восьмиугольника, равен $\alpha = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$. Рассмотрим равнобедренный треугольник $A_1OA_2$, где $O$ — центр восьмиугольника, $OA_1 = OA_2 = R$, а $A_1A_2 = a = 6$ см. По теореме косинусов:

$a^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(45^\circ)$

$6^2 = 2R^2 - 2R^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$36 = 2R^2 (1 - \frac{\sqrt{2}}{2})$

$36 = R^2 (2 - \sqrt{2})$

$R^2 = \frac{36}{2 - \sqrt{2}} = \frac{36(2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})} = \frac{36(2 + \sqrt{2})}{4 - 2} = 18(2 + \sqrt{2})$

Теперь, зная $R^2$, мы можем найти длины диагоналей.

A₁A₃

Диагональ $A_1A_3$ соединяет вершины через одну. В описанной окружности она стягивает дугу, равную двум сторонам, поэтому центральный угол $\angle A_1OA_3 = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $A_1OA_3$ является равнобедренным прямоугольным треугольником с катетами $OA_1 = OA_3 = R$. По теореме Пифагора:

$(A_1A_3)^2 = R^2 + R^2 = 2R^2$

Подставим значение $R^2$:

$(A_1A_3)^2 = 2 \cdot 18(2 + \sqrt{2}) = 36(2 + \sqrt{2})$

$A_1A_3 = \sqrt{36(2 + \sqrt{2})} = 6\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ см.

Ответ: $6\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ см.

A₁A₄

Диагональ $A_1A_4$ соединяет вершины через две. Центральный угол $\angle A_1OA_4 = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$. Рассмотрим равнобедренный треугольник $A_1OA_4$ со сторонами $OA_1 = OA_4 = R$. По теореме косинусов:

$(A_1A_4)^2 = R^2 + R^2 - 2R^2 \cos(135^\circ)$

$(A_1A_4)^2 = 2R^2 (1 - (-\frac{\sqrt{2}}{2})) = 2R^2 (1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) = R^2(2 + \sqrt{2})$

Подставим значение $R^2$:

$(A_1A_4)^2 = 18(2 + \sqrt{2}) \cdot (2 + \sqrt{2}) = 18(2 + \sqrt{2})^2$

$A_1A_4 = \sqrt{18(2 + \sqrt{2})^2} = \sqrt{18}(2 + \sqrt{2}) = 3\sqrt{2}(2 + \sqrt{2}) = 6\sqrt{2} + 6 = 6(1 + \sqrt{2})$ см.

Ответ: $6(1 + \sqrt{2})$ см.

A₁A₅

Диагональ $A_1A_5$ соединяет противоположные вершины и проходит через центр восьмиугольника, являясь диаметром описанной окружности. Ее длина равна $2R$.

$A_1A_5 = 2R$

$(A_1A_5)^2 = (2R)^2 = 4R^2$

Подставим значение $R^2$:

$(A_1A_5)^2 = 4 \cdot 18(2 + \sqrt{2}) = 72(2 + \sqrt{2}) = 144 + 72\sqrt{2}$

$A_1A_5 = \sqrt{72(2 + \sqrt{2})} = \sqrt{36 \cdot 2(2 + \sqrt{2})} = 6\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}$ см.

Ответ: $6\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}$ см.