Номер 81, страница 12 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

81. Отрезки AB, BC и CD — три последовательные сторо- ны правильного многоугольника. Продолжения сто- рон AB и CD пересекаются в точке M, $\angle BMC = 140^\circ$. Найдите количество сторон данного правильного мно- гоугольника.

81. Отрезки $AB$, $BC$ и $CD$ — три последовательные стороны правильного многоугольника. Продолжения сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$, $\angle BMC = 140^\circ$. Найдите количество сторон данного правильного многоугольника.

Пусть $n$ — искомое количество сторон правильного многоугольника. Когда мы продолжаем стороны $AB$ и $CD$ до их пересечения в точке $M$, мы получаем треугольник $BMC$.

Углы этого треугольника $\angle MBC$ и $\angle MCB$ являются внешними углами правильного многоугольника при вершинах $B$ и $C$ соответственно. Поскольку многоугольник правильный, все его внешние углы равны. Следовательно, $\angle MBC = \angle MCB$. Это означает, что треугольник $BMC$ является равнобедренным.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $BMC$ мы можем записать: $\angle BMC + \angle MBC + \angle MCB = 180^\circ$

Из условия задачи мы знаем, что $\angle BMC = 140^\circ$. Подставим это значение в уравнение: $140^\circ + \angle MBC + \angle MCB = 180^\circ$

Так как $\angle MBC = \angle MCB$, мы можем переписать уравнение как: $140^\circ + 2 \cdot \angle MBC = 180^\circ$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти величину внешнего угла многоугольника: $2 \cdot \angle MBC = 180^\circ - 140^\circ$ $2 \cdot \angle MBC = 40^\circ$ $\angle MBC = 20^\circ$

Таким образом, внешний угол правильного многоугольника равен $20^\circ$. Сумма всех внешних углов любого выпуклого многоугольника равна $360^\circ$. Для правильного $n$-угольника, у которого все $n$ внешних углов равны, величина одного внешнего угла ($\beta$) связана с количеством сторон $n$ формулой: $\beta = \frac{360^\circ}{n}$

Подставим найденное значение внешнего угла $\beta = 20^\circ$ в формулу: $20^\circ = \frac{360^\circ}{n}$

Отсюда найдем количество сторон $n$: $n = \frac{360^\circ}{20^\circ}$ $n = 18$

Следовательно, у данного правильного многоугольника 18 сторон.

Ответ: 18