Номер 87, страница 12 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

87. В окружность радиуса $4\sqrt{3}$ см вписан правильный треугольник. На его высоте как на стороне построен другой правильный треугольник, и в него вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

87. В окружность радиуса $4\sqrt{3}$ см вписан правильный треугольник. На его высоте как на стороне построен другой правильный треугольник, и в него вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

Пусть $R$ — радиус окружности, в которую вписан первый правильный треугольник. По условию, $R = 4\sqrt{3}$ см.
Сторона правильного треугольника $a_1$ и радиус описанной около него окружности $R$ связаны соотношением $R = \frac{a_1}{\sqrt{3}}$. Отсюда найдем сторону первого треугольника:
$a_1 = R \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12$ см.
Высота $h_1$ этого правильного треугольника вычисляется по формуле $h_1 = \frac{a_1\sqrt{3}}{2}$:
$h_1 = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.
По условию задачи, на высоте первого треугольника как на стороне построен второй правильный треугольник. Таким образом, сторона второго треугольника $a_2$ равна высоте первого:
$a_2 = h_1 = 6\sqrt{3}$ см.
Теперь необходимо найти радиус $r_2$ окружности, вписанной во второй правильный треугольник. Радиус вписанной в правильный треугольник окружности связан с его стороной $a_2$ формулой $r_2 = \frac{a_2}{2\sqrt{3}}$ (или $r_2 = \frac{a_2\sqrt{3}}{6}$).
Подставим значение стороны $a_2$:
$r_2 = \frac{6\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 3$ см.
Ответ: 3 см.