Номер 90, страница 12 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

90. Сторона правильного двенадцатиугольника равна 6 см. Его стороны, взятые через одну, продлили до пересечения так, что образовался правильный шестиугольник. Найдите сторону этого шестиугольника.

90. Сторона правильного двенадцатиугольника равна 6 см. Его стороны, взятые через одну, продлили до пересечения так, что образовался правильный шестиугольник. Найдите сторону этого шестиугольника.

Пусть дан правильный двенадцатиугольник с вершинами $A_1, A_2, \ldots, A_{12}$ и стороной $a = 6$ см. Новый правильный шестиугольник образуется при продлении сторон двенадцатиугольника, взятых через одну, до их пересечения. Рассмотрим, как образуются вершины нового шестиугольника. Продлим прямые, содержащие стороны $A_{12}A_1$ и $A_2A_3$. Точка их пересечения, назовем ее $B_1$, будет одной из вершин нового шестиугольника. Аналогично, точка $B_2$, полученная пересечением прямых, содержащих стороны $A_2A_3$ и $A_4A_5$, будет следующей вершиной шестиугольника.

Стороной получившегося шестиугольника является отрезок, соединяющий две соседние вершины, например, $B_1B_2$. Заметим, что обе точки $B_1$ и $B_2$ по построению лежат на прямой, содержащей сторону $A_2A_3$ исходного двенадцатиугольника. Таким образом, точки $B_1, A_2, A_3, B_2$ лежат на одной прямой, и длина стороны шестиугольника равна $B_1B_2 = B_1A_2 + A_2A_3 + A_3B_2$.

Найдем длины отрезков $B_1A_2$ и $A_3B_2$. Для этого рассмотрим треугольник $\triangle B_1A_1A_2$, образованный стороной $A_1A_2$ и продолжениями сторон $A_{12}A_1$ и $A_1A_2$. Нет, это неверно. Треугольник $\triangle B_1A_1A_2$ образован отрезком $A_1A_2$ и лучами $A_1B_1$ и $A_2B_1$.

Сначала определим углы правильного двенадцатиугольника. Величина внутреннего угла правильного $n$-угольника вычисляется по формуле $\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$. Для двенадцатиугольника ($n=12$):

$\alpha = \frac{(12-2) \cdot 180^\circ}{12} = \frac{10 \cdot 180^\circ}{12} = 150^\circ$.

Внешний угол, смежный с внутренним, равен $\beta = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

В треугольнике $\triangle B_1A_1A_2$ углы при основании $A_1A_2$ являются внешними углами двенадцатиугольника. Таким образом, $\angle B_1A_1A_2 = 30^\circ$ и $\angle B_1A_2A_1 = 30^\circ$. Следовательно, треугольник $\triangle B_1A_1A_2$ является равнобедренным с основанием $A_1A_2 = 6$ см. Угол при вершине $B_1$ равен $\angle A_1B_1A_2 = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 120^\circ$.

Для нахождения длины боковой стороны $B_1A_2$ применим теорему синусов к треугольнику $\triangle B_1A_1A_2$:

$\frac{B_1A_2}{\sin(\angle B_1A_1A_2)} = \frac{A_1A_2}{\sin(\angle A_1B_1A_2)}$

$\frac{B_1A_2}{\sin(30^\circ)} = \frac{6}{\sin(120^\circ)}$

Отсюда находим $B_1A_2$:

$B_1A_2 = 6 \cdot \frac{\sin(30^\circ)}{\sin(120^\circ)} = 6 \cdot \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

В силу симметрии задачи, все треугольники, образованные на "углах" двенадцатиугольника, конгруэнтны. В частности, $\triangle B_2A_3A_4$ конгруэнтен $\triangle B_1A_1A_2$. Следовательно, длина отрезка $A_3B_2$ также равна $2\sqrt{3}$ см.

Теперь мы можем найти длину стороны шестиугольника $B_1B_2$:

$B_1B_2 = B_1A_2 + A_2A_3 + A_3B_2 = 2\sqrt{3} + 6 + 2\sqrt{3} = 6 + 4\sqrt{3}$ см.

Ответ: $(6 + 4\sqrt{3})$ см.