Номер 86, страница 12 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

86. Около квадрата со стороной $a$ описана окружность, около этой окружности описан правильный шестиугольник. Найдите радиус окружности, описанной около шестиугольника.

86. Около квадрата со стороной $a$ описана окружность, около этой окружности описан правильный шестиугольник. Найдите радиус окружности, описанной около шестиугольника.

Пусть $a$ — сторона исходного квадрата.

Сначала найдем радиус $R_1$ окружности, описанной около квадрата. Диаметр этой окружности равен диагонали квадрата. Диагональ квадрата со стороной $a$ вычисляется по теореме Пифагора и равна $d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$. Радиус описанной окружности равен половине диагонали: $R_1 = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Далее, по условию, около этой окружности описан правильный шестиугольник. Это означает, что данная окружность является вписанной в этот шестиугольник. Следовательно, радиус вписанной в шестиугольник окружности, обозначим его $r_h$, равен $R_1$: $r_h = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Теперь нам нужно найти радиус $R_h$ окружности, описанной около этого правильного шестиугольника. Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности $R_h$ и радиус вписанной окружности $r_h$ связаны соотношением: $r_h = R_h \cdot \cos\left(\frac{180^\circ}{6}\right) = R_h \cdot \cos(30^\circ) = R_h \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Из этого соотношения выразим $R_h$: $R_h = \frac{r_h}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2r_h}{\sqrt{3}}$.

Подставим найденное значение $r_h = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ в эту формулу: $R_h = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $R_h = \frac{a\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{6}}{3}$.