Номер 83, страница 12 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

83. Около квадрата со стороной $5\sqrt{2}$ см описана окружность. Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около этой окружности.

83. Около квадрата со стороной $5\sqrt{2}$ см описана окружность. Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около этой окружности.

Для решения задачи сначала найдем радиус окружности, описанной около квадрата. Затем, используя этот радиус как радиус вписанной в шестиугольник окружности, найдем сторону шестиугольника.

1. Нахождение радиуса окружности.
Радиус $R$ окружности, описанной около квадрата, связан с его стороной $a_{кв}$ формулой $R = \frac{a_{кв}\sqrt{2}}{2}$. Также можно найти радиус через диагональ квадрата $d_{кв}$. Диагональ квадрата является диаметром описанной окружности.

Сторона квадрата $a_{кв} = 5\sqrt{2}$ см.

Найдем диагональ квадрата:
$d_{кв} = a_{кв} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 5 \cdot 2 = 10$ см.

Диаметр окружности $D$ равен диагонали квадрата, $D = 10$ см. Радиус окружности $R$ равен половине диаметра:
$R = \frac{D}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

2. Нахождение стороны правильного шестиугольника.
Правильный шестиугольник описан около этой окружности. Это означает, что данная окружность является вписанной в шестиугольник. Радиус вписанной в правильный шестиугольник окружности $r_{шест}$ связан с его стороной $a_{шест}$ формулой:
$r_{шест} = \frac{a_{шест}\sqrt{3}}{2}$.

В нашем случае радиус вписанной в шестиугольник окружности равен радиусу окружности, найденному в первом шаге: $r_{шест} = R = 5$ см.

Подставим значение радиуса в формулу и выразим сторону шестиугольника $a_{шест}$:
$5 = \frac{a_{шест}\sqrt{3}}{2}$
$a_{шест} = \frac{5 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:
$a_{шест} = \frac{10 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{10\sqrt{3}}{3}$ см.