Номер 80, страница 12 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

80. Найдите площадь правильного двенадцатиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 4 см.

80. Найдите площадь правильного двенадцатиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 4 см.

Площадь правильного двенадцатиугольника, вписанного в окружность, можно вычислить, разбив его на 12 одинаковых равнобедренных треугольников. Вершина каждого треугольника находится в центре окружности, а боковые стороны равны радиусу окружности.

1. Определение параметров треугольника

Боковые стороны каждого из 12 треугольников равны радиусу описанной окружности $R = 4$ см.

Угол между этими сторонами (центральный угол) можно найти, разделив полный угол $360^\circ$ на количество сторон (и треугольников):

$\alpha = \frac{360^\circ}{n} = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$

2. Вычисление площади одного треугольника

Площадь треугольника ($S_{\triangle}$) можно найти по формуле через две стороны и угол между ними:

$S_{\triangle} = \frac{1}{2}ab\sin(\gamma)$

В нашем случае $a=b=R=4$ см и $\gamma=\alpha=30^\circ$:

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \cdot \sin(30^\circ)$

Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см².

3. Вычисление площади всего двенадцатиугольника

Площадь всего двенадцатиугольника ($S_{12}$) равна площади одного треугольника, умноженной на их количество:

$S_{12} = 12 \cdot S_{\triangle} = 12 \cdot 4 = 48$ см².

Также можно было воспользоваться общей формулой для площади правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса $R$:

$S_n = \frac{1}{2} n R^2 \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right)$

$S_{12} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 4^2 \cdot \sin\left(\frac{360^\circ}{12}\right) = 6 \cdot 16 \cdot \sin(30^\circ) = 96 \cdot \frac{1}{2} = 48$ см².

Ответ: 48 см².