Номер 72, страница 11 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

72. Найдите количество сторон правильного многоугольника, если:

1) его угол равен $168^{\circ}$;

2) угол, смежный с углом многоугольника, равен $18^{\circ}$.

72. Найдите количество сторон правильного многоугольника, если:

1) его угол равен $168^\circ$;

2) угол, смежный с углом многоугольника, равен $18^\circ$.

1) его угол равен 168°

Пусть $n$ — количество сторон правильного многоугольника. Величина внутреннего угла $\alpha$ правильного $n$-угольника связана с количеством сторон формулой $\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$.

Также можно использовать формулу для внешнего угла многоугольника. Внешний угол $\beta$ — это угол, смежный с внутренним углом, поэтому их сумма равна $180^\circ$.
$\beta = 180^\circ - \alpha$

По условию, внутренний угол $\alpha = 168^\circ$. Найдем внешний угол:
$\beta = 180^\circ - 168^\circ = 12^\circ$

Величина внешнего угла правильного $n$-угольника вычисляется по формуле $\beta = \frac{360^\circ}{n}$. Подставим найденное значение $\beta$ и найдем количество сторон $n$:
$12^\circ = \frac{360^\circ}{n}$
$n = \frac{360^\circ}{12^\circ}$
$n = 30$

Ответ: 30.

2) угол, смежный с углом многоугольника, равен 18°

Угол, смежный с внутренним углом многоугольника, является его внешним углом. Обозначим его как $\beta$. По условию, $\beta = 18^\circ$.

Сумма всех внешних углов любого выпуклого многоугольника равна $360^\circ$. Для правильного $n$-угольника, у которого все $n$ внешних углов равны, величина одного внешнего угла вычисляется по формуле:
$\beta = \frac{360^\circ}{n}$

Подставим известное значение внешнего угла в формулу и найдем количество сторон $n$:
$18^\circ = \frac{360^\circ}{n}$
$n = \frac{360^\circ}{18^\circ}$
$n = 20$

Ответ: 20.