Номер 65, страница 10 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

65 Площадь прямоугольника равна $16\sqrt{3}$ $\text{см}^2$, а угол между его диагоналями — $60^\circ$. Найдите стороны прямоугольника.

65 Площадь прямоугольника равна $16\sqrt{3} \text{ см}^2$, а угол между его диагоналями — $60^\circ$. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, а его диагональ равна $d$. Площадь прямоугольника $S$ можно выразить через его диагонали и угол $\alpha$ между ними. Так как в прямоугольнике диагонали равны, формула площади имеет вид: $S = \frac{1}{2}d^2 \sin(\alpha)$.

Согласно условию задачи, площадь $S = 16\sqrt{3}$ см², а угол между диагоналями $\alpha = 60°$. Подставим эти значения в формулу, чтобы найти длину диагонали $d$: $16\sqrt{3} = \frac{1}{2}d^2 \sin(60°)$.

Мы знаем, что значение синуса $60°$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим это в уравнение: $16\sqrt{3} = \frac{1}{2}d^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$16\sqrt{3} = \frac{d^2\sqrt{3}}{4}$.

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$: $16 = \frac{d^2}{4}$.

Отсюда находим квадрат длины диагонали: $d^2 = 16 \cdot 4 = 64$.

Следовательно, длина диагонали равна: $d = \sqrt{64} = 8$ см.

Диагонали прямоугольника в точке пересечения делятся пополам и образуют четыре равнобедренных треугольника. Рассмотрим один из этих треугольников, у которого угол при вершине (в точке пересечения диагоналей) равен $60°$. Боковые стороны этого треугольника равны половине диагонали, то есть $d/2 = 8/2 = 4$ см.

Равнобедренный треугольник с углом при вершине $60°$ является равносторонним. Это означает, что все его стороны равны. Основание этого треугольника является одной из сторон прямоугольника. Обозначим ее как $a$. Таким образом, мы нашли одну из сторон прямоугольника: $a = 4$ см.

Теперь, зная площадь прямоугольника $S = a \cdot b$ и одну из его сторон $a$, мы можем найти вторую сторону $b$: $16\sqrt{3} = 4 \cdot b$.

$b = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$ см.

Таким образом, стороны прямоугольника равны 4 см и $4\sqrt{3}$ см.

Ответ: 4 см и $4\sqrt{3}$ см.