Номер 58, страница 9 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

58. На сторонах угла A отложены отрезки $AB = 4$ см, $BC = 5$ см, $AD = 6$ см и $DE = 2$ см (рис. 3). Найдите отношение площадей треугольника ABD и четырёхугольника BCED.

Рис. 2

Рис. 3

58. На сторонах угла $A$ отложены отрезки $AB = 4$ см, $BC = 5$ см, $AD = 6$ см и $DE = 2$ см (рис. 3). Найдите отношение площадей треугольника $ABD$ и четырёхугольника $BCED$.

Рис. 3

Для нахождения отношения площадей воспользуемся формулой площади треугольника через две стороны и синус угла между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin \alpha$.

Треугольники $ABD$ и $ACE$ имеют общий угол $A$. Пусть $\angle A = \alpha$.

1. Найдем длины сторон $AC$ и $AE$, которые являются сторонами треугольника $ACE$.Согласно условию, $AB = 4$ см, $BC = 5$ см, $AD = 6$ см и $DE = 2$ см.Длина стороны $AC$ равна сумме длин отрезков $AB$ и $BC$:$AC = AB + BC = 4 + 5 = 9$ см.Длина стороны $AE$ равна сумме длин отрезков $AD$ и $DE$:$AE = AD + DE = 6 + 2 = 8$ см.

2. Вычислим площадь треугольника $ABD$ (обозначим $S_{ABD}$):$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \sin \alpha = 12 \sin \alpha$.

3. Площадь четырехугольника $BCED$ (обозначим $S_{BCED}$) можно найти как разность площадей треугольника $ACE$ и треугольника $ABD$.Сначала вычислим площадь треугольника $ACE$ ($S_{ACE}$):$S_{ACE} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AE \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 8 \cdot \sin \alpha = 36 \sin \alpha$.Теперь найдем площадь четырехугольника $BCED$:$S_{BCED} = S_{ACE} - S_{ABD} = 36 \sin \alpha - 12 \sin \alpha = 24 \sin \alpha$.

4. Найдем искомое отношение площади треугольника $ABD$ к площади четырехугольника $BCED$:$\frac{S_{ABD}}{S_{BCED}} = \frac{12 \sin \alpha}{24 \sin \alpha}$.

Поскольку угол $A$ является углом треугольника, его синус не равен нулю ($\sin \alpha \neq 0$), поэтому мы можем сократить дробь на $\sin \alpha$:$\frac{12}{24} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$