Номер 63, страница 10 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

63. Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки длиной 5 см и 6 см. Меньшая из двух других сторон равна 15 см. Найдите площадь треугольника.

63. Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки длиной 5 см и 6 см. Меньшая из двух других сторон равна 15 см. Найдите площадь треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором проведена биссектриса $BD$ к стороне $AC$. Биссектриса делит сторону $AC$ на отрезки $AD = 5$ см и $DC = 6$ см. Тогда вся сторона $AC$ равна $5 + 6 = 11$ см.

По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC}$

Подставим длины отрезков:

$\frac{AB}{BC} = \frac{5}{6}$

Из этого соотношения следует, что сторона $AB$ меньше стороны $BC$ ($AB = \frac{5}{6}BC$).

По условию, меньшая из двух других сторон равна 15 см. Следовательно, $AB = 15$ см.

Теперь найдем длину стороны $BC$:

$\frac{15}{BC} = \frac{5}{6}$

$5 \cdot BC = 15 \cdot 6$

$BC = \frac{90}{5} = 18$ см.

Таким образом, мы имеем треугольник со сторонами $a = 15$ см, $b = 18$ см и $c = 11$ см.

Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

Сначала вычислим полупериметр:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{15 + 18 + 11}{2} = \frac{44}{2} = 22$ см.

Теперь подставим значения в формулу Герона:

$S = \sqrt{22(22-15)(22-18)(22-11)}$

$S = \sqrt{22 \cdot 7 \cdot 4 \cdot 11}$

$S = \sqrt{(2 \cdot 11) \cdot 7 \cdot 4 \cdot 11} = \sqrt{4 \cdot 11^2 \cdot 14}$

$S = \sqrt{4} \cdot \sqrt{11^2} \cdot \sqrt{14} = 2 \cdot 11 \cdot \sqrt{14} = 22\sqrt{14}$ см².

Ответ: $22\sqrt{14}$ см².