Номер 61, страница 10 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

61. Стороны треугольника равны 9 см, 10 см и 17 см. Найдите наименьшую высоту треугольника, радиусы вписанной в него и описанной около него окружностей.

61. Стороны треугольника равны 9 см, 10 см и 17 см. Найдите наименьшую высоту треугольника, радиусы вписанной в него и описанной около него окружностей.

Для решения задачи нам понадобятся площадь треугольника, его полупериметр и соответствующие формулы. Обозначим стороны треугольника как $a = 9$ см, $b = 10$ см, $c = 17$ см.

1. Найдем площадь треугольника по формуле Герона.

Сначала вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{9 + 10 + 17}{2} = \frac{36}{2} = 18$ см.

Теперь найдем площадь $S$ по формуле Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$S = \sqrt{18(18-9)(18-10)(18-17)} = \sqrt{18 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 1} = \sqrt{1296} = 36$ см².

Теперь, зная площадь, мы можем найти требуемые величины.

наименьшую высоту треугольника

Наименьшая высота треугольника проведена к его наибольшей стороне. В нашем случае наибольшая сторона $c = 17$ см. Площадь треугольника также можно выразить через высоту $h_c$ к стороне $c$:

$S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c$

Отсюда выразим наименьшую высоту $h_c$:

$h_c = \frac{2S}{c} = \frac{2 \cdot 36}{17} = \frac{72}{17}$ см.

Ответ: наименьшая высота треугольника равна $\frac{72}{17}$ см.

радиусы вписанной в него и описанной около него окружностей

1. Радиус вписанной окружности ($r$)

Радиус вписанной окружности находится по формуле:

$r = \frac{S}{p}$

Подставим известные значения площади $S$ и полупериметра $p$:

$r = \frac{36}{18} = 2$ см.

Ответ: радиус вписанной окружности равен 2 см.

2. Радиус описанной окружности ($R$)

Радиус описанной окружности находится по формуле:

$R = \frac{abc}{4S}$

Подставим известные значения сторон $a, b, c$ и площади $S$:

$R = \frac{9 \cdot 10 \cdot 17}{4 \cdot 36} = \frac{9 \cdot 10 \cdot 17}{144} = \frac{1530}{144}$

Сократим дробь:

$R = \frac{1530 : 18}{144 : 18} = \frac{85}{8}$ см.

Ответ: радиус описанной окружности равен $\frac{85}{8}$ см (или 10,625 см).