Номер 56, страница 9 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

56. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен $120^\circ$, а его площадь — $150\sqrt{3}$ $см^2$. Найдите боковую сторону треугольника.

56. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 120°, а его площадь — $150\sqrt{3}\text{ см}^2$. Найдите боковую сторону треугольника.

Пусть боковая сторона равнобедренного треугольника равна $a$. Угол при вершине, то есть угол между двумя боковыми сторонами, равен $120°$.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле, использующей две стороны и угол между ними:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin\gamma$

Для равнобедренного треугольника, где $a$ и $b$ - боковые стороны, эта формула принимает вид:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin(120°) = \frac{1}{2}a^2\sin(120°)$

Известно, что площадь $S = 150\sqrt{3}$ см². Найдем значение $\sin(120°)$:

$\sin(120°) = \sin(180° - 60°) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим известные значения в формулу площади и решим уравнение относительно $a$:

$150\sqrt{3} = \frac{1}{2}a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$150\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:

$150 = \frac{a^2}{4}$

Умножим обе части на 4:

$a^2 = 150 \cdot 4$

$a^2 = 600$

Найдем $a$, извлекая квадратный корень. Так как длина стороны не может быть отрицательной, берем только положительное значение:

$a = \sqrt{600} = \sqrt{100 \cdot 6} = 10\sqrt{6}$

Таким образом, длина боковой стороны треугольника составляет $10\sqrt{6}$ см.

Ответ: $10\sqrt{6}$ см.