Номер 49, страница 8 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

49. Большая сторона треугольника равна 6 см, а вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, градусные меры которых относятся как $1 : 4 : 7$. Найдите неизвестные стороны треугольника.

49. Большая сторона треугольника равна 6 см, а вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, градусные меры которых относятся как $1 : 4 : 7$. Найдите неизвестные стороны треугольника.

1. Нахождение градусных мер дуг
Сумма градусных мер всех дуг окружности составляет $360°$. По условию, вершины треугольника делят описанную окружность на три дуги, градусные меры которых относятся как $1:4:7$.
Пусть $x$ - коэффициент пропорциональности. Тогда градусные меры дуг равны $x$, $4x$ и $7x$.
Составим и решим уравнение:
$x + 4x + 7x = 360°$
$12x = 360°$
$x = \frac{360°}{12} = 30°$
Следовательно, градусные меры дуг равны:
Дуга 1: $1 \cdot 30° = 30°$
Дуга 2: $4 \cdot 30° = 120°$
Дуга 3: $7 \cdot 30° = 210°$

2. Нахождение углов треугольника
Величина вписанного в окружность угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Углы нашего треугольника $(\alpha, \beta, \gamma)$ опираются на найденные дуги:
$\alpha = \frac{1}{2} \cdot 30° = 15°$
$\beta = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°$
$\gamma = \frac{1}{2} \cdot 210° = 105°$
Для проверки сложим углы: $15° + 60° + 105° = 180°$. Сумма верна.

3. Нахождение неизвестных сторон треугольника
В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Наибольший угол треугольника равен $105°$, следовательно, сторона, лежащая против этого угла, является наибольшей. По условию, её длина равна 6 см.
Пусть стороны треугольника, лежащие против углов $15°$, $60°$ и $105°$, равны $a$, $b$ и $c$ соответственно. Тогда $c=6$ см.
Для нахождения неизвестных сторон $a$ и $b$ воспользуемся теоремой синусов:
$\frac{a}{\sin 15°} = \frac{b}{\sin 60°} = \frac{c}{\sin 105°}$
Подставим известные значения:
$\frac{a}{\sin 15°} = \frac{b}{\sin 60°} = \frac{6}{\sin 105°}$
Сначала вычислим значения синусов для углов $105°$ и $15°$ через формулы суммы и разности углов:
$\sin 105° = \sin(60° + 45°) = \sin 60° \cos 45° + \cos 60° \sin 45° = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
$\sin 15° = \sin(60° - 45°) = \sin 60° \cos 45° - \cos 60° \sin 45° = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
Теперь найдем сторону $b$, лежащую против угла $60°$:
$b = \frac{6 \cdot \sin 60°}{\sin 105°} = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} = \frac{3\sqrt{3} \cdot 4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$b = \frac{12\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})} = \frac{12(\sqrt{18}-\sqrt{6})}{6-2} = \frac{12(3\sqrt{2}-\sqrt{6})}{4} = 3(3\sqrt{2}-\sqrt{6})$ см.
Далее найдем сторону $a$, лежащую против угла $15°$:
$a = \frac{6 \cdot \sin 15°}{\sin 105°} = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} = \frac{6(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$a = \frac{6(\sqrt{6}-\sqrt{2})^2}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})} = \frac{6(6-2\sqrt{12}+2)}{6-2} = \frac{6(8-4\sqrt{3})}{4} = \frac{24(2-\sqrt{3})}{4} = 6(2-\sqrt{3})$ см.

Ответ: $3(3\sqrt{2}-\sqrt{6})$ см и $6(2-\sqrt{3})$ см.