Номер 44, страница 8 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

44. В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой острого угла, а основания относятся как $5:11$. Найдите диагональ трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен 6 см.

44. В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой острого угла, а основания относятся как 5 : 11. Найдите диагональ трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен 6 см.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, причем $AD > BC$. По условию, радиус описанной окружности $R=6$ см.

Диагональ $AC$ является биссектрисой острого угла $\angle BAD$. Обозначим $\angle CAD = \alpha$. Тогда, по определению биссектрисы, $\angle BAC = \alpha$, и весь острый угол трапеции $\angle BAD = 2\alpha$.

Так как основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), то накрест лежащие углы при секущей $AC$ равны: $\angle BCA = \angle CAD = \alpha$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. В нем два угла равны: $\angle BAC = \angle BCA = \alpha$. Следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, и его боковые стороны равны: $AB = BC$.

Поскольку трапеция $ABCD$ равнобокая, ее боковые стороны равны: $AB = CD$. Из этого и предыдущего равенства следует, что боковые стороны трапеции равны ее меньшему основанию: $AB = BC = CD$.

По условию, основания относятся как $5:11$. Пусть коэффициент пропорциональности равен $x$. Тогда меньшее основание $BC = 5x$, а большее основание $AD = 11x$. Соответственно, боковые стороны также равны $5x$: $AB = CD = 5x$.

Рассмотрим треугольник $ACD$. Его вершины $A$, $C$, $D$ лежат на описанной около трапеции окружности. Стороны этого треугольника: $CD = 5x$, $AD = 11x$. Обозначим диагональ $AC = d$. Углы треугольника: $\angle CAD = \alpha$. Угол при основании трапеции $\angle ADC = \angle BAD = 2\alpha$ (углы при основании равнобокой трапеции равны). Третий угол треугольника $\angle ACD = 180^\circ - (\angle CAD + \angle ADC) = 180^\circ - (\alpha + 2\alpha) = 180^\circ - 3\alpha$.

Применим обобщенную теорему синусов для треугольника $ACD$. Отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности ($2R$).

$\frac{CD}{\sin(\angle CAD)} = \frac{AD}{\sin(\angle ACD)} = \frac{AC}{\sin(\angle ADC)} = 2R$

Подставим известные значения:

$\frac{5x}{\sin \alpha} = \frac{11x}{\sin(180^\circ - 3\alpha)} = \frac{d}{\sin(2\alpha)} = 2 \cdot 6 = 12$

Из первого равенства $\frac{5x}{\sin \alpha} = \frac{11x}{\sin(3\alpha)}$ (поскольку $\sin(180^\circ - \theta) = \sin\theta$), получим соотношение для нахождения угла $\alpha$:

$\frac{5}{\sin \alpha} = \frac{11}{\sin(3\alpha)}$

$5 \sin(3\alpha) = 11 \sin \alpha$

Используем формулу синуса тройного угла $\sin(3\alpha) = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$:

$5(3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha) = 11 \sin \alpha$

Поскольку $\alpha$ — острый угол в треугольнике, $\sin\alpha \neq 0$. Можно разделить обе части уравнения на $\sin\alpha$:

$5(3 - 4\sin^2\alpha) = 11$

$15 - 20\sin^2\alpha = 11$

$20\sin^2\alpha = 4$

$\sin^2\alpha = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$

Так как $\alpha$ — острый угол, $\sin\alpha > 0$, следовательно, $\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.

Теперь найдем искомое значение диагонали $d$. Из теоремы синусов мы имеем соотношение:

$\frac{d}{\sin(2\alpha)} = 12$

$d = 12 \sin(2\alpha)$

Для нахождения $\sin(2\alpha)$ сначала найдем $\cos\alpha$. Так как $\angle BAD = 2\alpha$ — острый угол, то $2\alpha < 90^\circ$, и $\alpha < 45^\circ$. Значит, $\cos\alpha > 0$.

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

$\cos\alpha = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

Теперь по формуле синуса двойного угла:

$\sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{4 \cdot 5}{25} = \frac{20}{25} = \frac{4}{5}$

Наконец, подставим значение $\sin(2\alpha)$ в формулу для диагонали $d$:

$d = 12 \cdot \frac{4}{5} = \frac{48}{5} = 9,6$ см.

Ответ: 9,6 см.