Номер 43, страница 8 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

43. Диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, если её боковая сторона равна $5\sqrt{2}$ см.

43. Диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, если её боковая сторона равна $5\sqrt{2}$ см.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, боковой стороной $CD = 5\sqrt{2}$ см. Диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны и пересекаются в точке $O$.

Окружность, описанная около трапеции, является также описанной окружностью для любого треугольника, образованного тремя ее вершинами, например, для треугольника $ACD$. Радиус $R$ этой окружности можно найти, используя следствие из теоремы синусов:

$R = \frac{CD}{2 \sin \angle CAD}$

Для вычисления радиуса необходимо найти величину угла $\angle CAD$.

В равнобокой трапеции диагонали равны ($AC = BD$), а боковые стороны равны ($AB = CD$). Рассмотрим треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle DAB$. У них сторона $AD$ — общая, $CD = AB$ и $AC = BD$ по свойствам равнобокой трапеции. Следовательно, $\triangle ADC \cong \triangle DAB$ по трем сторонам.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle CAD = \angle BDA$.

Рассмотрим треугольник $AOD$, образованный пересечением диагоналей. Углы $\angle OAD$ (тот же, что и $\angle CAD$) и $\angle ODA$ (тот же, что и $\angle BDA$) являются углами при его основании $AD$. Так как эти углы равны, треугольник $AOD$ является равнобедренным, то есть $AO = DO$.

По условию задачи, диагонали трапеции перпендикулярны, а значит, угол между ними равен $90^\circ$. Таким образом, $\angle AOD = 90^\circ$.

Следовательно, треугольник $AOD$ является прямоугольным равнобедренным треугольником. Углы при основании такого треугольника равны:

$\angle CAD = \angle OAD = \frac{180^\circ - 90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Теперь мы можем вычислить радиус описанной окружности, подставив известные значения в формулу:

$R = \frac{CD}{2 \sin \angle CAD} = \frac{5\sqrt{2}}{2 \sin 45^\circ}$.

Зная, что значение синуса $45^\circ$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$R = \frac{5\sqrt{2}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 5$ см.

Ответ: 5 см.