Номер 36, страница 7 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Теорема синусов. Вариант 1. Упражнения - номер 36, страница 7.

Условие 2017.

36. В треугольнике $ABC$ $BC = a$, $\angle B = \beta$, $\angle C = \gamma$. Найдите стороны $AC$ и $AB$.

Условие 2021.

36. В треугольнике $ABC$ $BC = a$, $\angle B = \beta$, $\angle C = \gamma$. Найдите стороны $AC$ и $AB$.

Решение.

Решение 2 (2021).

В данной задаче нам известен треугольник $ABC$, в котором задана длина стороны $BC = a$ и два прилежащих к ней угла $\angle B = \beta$ и $\angle C = \gamma$. Требуется найти длины двух других сторон: $AC$ и $AB$. Для решения этой задачи мы будем использовать теорему синусов.

1. Найдём третий угол треугольника.
Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Поэтому угол $\angle A$ можно найти следующим образом:$\angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - (\beta + \gamma)$.

2. Применим теорему синусов.
Теорема синусов гласит, что отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов равны:$\frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)}$.

Подставим известные нам значения в эту формулу:$\frac{a}{\sin(180^\circ - (\beta + \gamma))} = \frac{AC}{\sin(\beta)} = \frac{AB}{\sin(\gamma)}$.

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$, мы можем упростить выражение в знаменателе первой дроби:$\sin(180^\circ - (\beta + \gamma)) = \sin(\beta + \gamma)$.

Таким образом, теорема синусов для нашего треугольника принимает вид:$\frac{a}{\sin(\beta + \gamma)} = \frac{AC}{\sin(\beta)} = \frac{AB}{\sin(\gamma)}$.

3. Выразим искомые стороны.
Теперь из полученного соотношения мы можем выразить длины сторон $AC$ и $AB$.

Чтобы найти $AC$, воспользуемся пропорцией:$\frac{AC}{\sin(\beta)} = \frac{a}{\sin(\beta + \gamma)}$.Отсюда получаем:$AC = \frac{a \cdot \sin(\beta)}{\sin(\beta + \gamma)}$.

Чтобы найти $AB$, воспользуемся пропорцией:$\frac{AB}{\sin(\gamma)} = \frac{a}{\sin(\beta + \gamma)}$.Отсюда получаем:$AB = \frac{a \cdot \sin(\gamma)}{\sin(\beta + \gamma)}$.

Ответ: $AC = \frac{a \sin\beta}{\sin(\beta + \gamma)}$, $AB = \frac{a \sin\gamma}{\sin(\beta + \gamma)}$.