Номер 34, страница 7 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

34. Две стороны треугольника равны $3\sqrt{2}$ см и 4 см. Найдите третью сторону треугольника, если она относится к радиусу описанной окружности как $\sqrt{2} : 1$.

34. Две стороны треугольника равны $3\sqrt{2}$ см и 4 см. Найдите третью сторону треугольника, если она относится к радиусу описанной окружности как $\sqrt{2} : 1$.

Пусть стороны треугольника равны $a = 3\sqrt{2}$ см, $b = 4$ см, а искомая третья сторона — $c$. Пусть $R$ — радиус описанной около треугольника окружности.

Согласно условию задачи, отношение третьей стороны к радиусу описанной окружности составляет $\sqrt{2} : 1$. Математически это записывается как: $\frac{c}{R} = \frac{\sqrt{2}}{1}$ Из этого соотношения выразим сторону $c$: $c = R\sqrt{2}$

Для решения задачи воспользуемся следствием из теоремы синусов, которое связывает сторону треугольника, противолежащий ей угол и радиус описанной окружности: $\frac{c}{\sin C} = 2R$ где $C$ — угол, противолежащий стороне $c$.

Подставим выражение $c = R\sqrt{2}$ в формулу теоремы синусов: $\frac{R\sqrt{2}}{\sin C} = 2R$

Поскольку для любого невырожденного треугольника радиус описанной окружности $R \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $R$: $\frac{\sqrt{2}}{\sin C} = 2$ Отсюда находим значение синуса угла $C$: $\sin C = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Угол в треугольнике может принимать значения от $0^\circ$ до $180^\circ$. В этом интервале синус равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$ для двух углов: $C_1 = 45^\circ$ и $C_2 = 135^\circ$. Это означает, что задача может иметь два решения.

Теперь мы можем найти длину стороны $c$ для каждого из возможных значений угла $C$, используя теорему косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

1. Если угол $C = 45^\circ$.

Значение косинуса этого угла: $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим все известные значения в теорему косинусов: $c^2 = (3\sqrt{2})^2 + 4^2 - 2 \cdot (3\sqrt{2}) \cdot 4 \cdot \cos 45^\circ$ $c^2 = (9 \cdot 2) + 16 - 24\sqrt{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ $c^2 = 18 + 16 - \frac{24 \cdot 2}{2}$ $c^2 = 34 - 24 = 10$ $c = \sqrt{10}$ см.

2. Если угол $C = 135^\circ$.

Значение косинуса этого угла: $\cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Снова подставим значения в теорему косинусов: $c^2 = (3\sqrt{2})^2 + 4^2 - 2 \cdot (3\sqrt{2}) \cdot 4 \cdot \cos 135^\circ$ $c^2 = 18 + 16 - 24\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ $c^2 = 34 + \frac{24 \cdot 2}{2}$ $c^2 = 34 + 24 = 58$ $c = \sqrt{58}$ см.

Оба полученных значения являются возможными длинами третьей стороны треугольника.

Ответ: $\sqrt{10}$ см или $\sqrt{58}$ см.