Номер 28, страница 6 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

28. В треугольнике $ABC$ $BC = 5\sqrt{3}$ см, $\angle A = 60^\circ$, $\angle B = 45^\circ$. Найдите сторону $AC$.

28. В треугольнике $ABC$ $BC = 5\sqrt{3}$ см, $\angle A = 60^\circ$, $\angle B = 45^\circ$. Найдите сторону $AC$.

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему синусов. Теорема синусов гласит, что для любого треугольника отношение длины стороны к синусу противолежащего угла является величиной постоянной. Для треугольника $ABC$ это записывается так:

$\frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)}$

Нам даны сторона $BC = 5\sqrt{3}$ см, угол $\angle A = 60^{\circ}$, который лежит напротив стороны $BC$, и угол $\angle B = 45^{\circ}$, который лежит напротив искомой стороны $AC$.

Воспользуемся частью равенства, связывающей известные и искомую величины:

$\frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)}$

Подставим в него известные значения:

$\frac{AC}{\sin(45^{\circ})} = \frac{5\sqrt{3}}{\sin(60^{\circ})}$

Теперь выразим сторону $AC$:

$AC = \frac{5\sqrt{3} \cdot \sin(45^{\circ})}{\sin(60^{\circ})}$

Значения синусов для углов $45^{\circ}$ и $60^{\circ}$ являются табличными:

$\sin(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим эти значения в нашу формулу:

$AC = \frac{5\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Упростим полученное выражение, сократив $\frac{1}{2}$ в числителе и знаменателе:

$AC = \frac{5\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Теперь сократим $\sqrt{3}$:

$AC = 5\sqrt{2}$

Таким образом, длина стороны $AC$ равна $5\sqrt{2}$ см.

Ответ: $5\sqrt{2}$ см.