Номер 25, страница 6 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

25. Стороны треугольника равны $4\sqrt{2}$ см и 3 см, а угол между ними — $135^{\circ}$. Найдите медиану треугольника, проведённую к его третьей стороне.

25. Стороны треугольника равны $4\sqrt{2}$ см и 3 см, а угол между ними — $135^{\circ}$. Найдите медиану треугольника, проведённую к его третьей стороне.

Пусть дан треугольник, в котором две стороны равны $4\sqrt{2}$ см и $3$ см, а угол между ними составляет $135^\circ$. Обозначим этот треугольник как $ABC$, где $AB = 4\sqrt{2}$ см, $AC = 3$ см и $\angle BAC = 135^\circ$. Пусть $AM$ — медиана, проведённая к третьей стороне $BC$. Необходимо найти длину медианы $AM$.

Для решения этой задачи удобно использовать метод достроения треугольника до параллелограмма. Продлим медиану $AM$ за точку $M$ на её длину до точки $D$, так что $AM = MD$. Соединим точку $D$ с вершинами $B$ и $C$.

Рассмотрим получившийся четырёхугольник $ABDC$. Его диагонали $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $M$. По определению медианы, $M$ является серединой стороны $BC$. По построению, $M$ также является серединой отрезка $AD$. Так как диагонали четырёхугольника $ABDC$ в точке пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Следовательно, для углов $\angle BAC$ и $\angle ABD$ выполняется равенство:$\angle ABD + \angle BAC = 180^\circ$Отсюда мы можем найти величину угла $\angle ABD$:$\angle ABD = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$

Также из свойств параллелограмма следует, что его противолежащие стороны равны. Таким образом, $BD = AC = 3$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. В нём нам известны длины двух сторон ($AB = 4\sqrt{2}$ см и $BD = 3$ см) и угол между ними ($\angle ABD = 45^\circ$). Мы можем найти длину третьей стороны $AD$, используя теорему косинусов:$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 \cdot AB \cdot BD \cdot \cos(\angle ABD)$

Подставим известные значения в эту формулу:$AD^2 = (4\sqrt{2})^2 + 3^2 - 2 \cdot (4\sqrt{2}) \cdot 3 \cdot \cos(45^\circ)$$AD^2 = (16 \cdot 2) + 9 - 24\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$AD^2 = 32 + 9 - \frac{24 \cdot 2}{2}$$AD^2 = 41 - 24$$AD^2 = 17$Длина отрезка $AD$ равна $AD = \sqrt{17}$ см.

По нашему построению, длина отрезка $AD$ вдвое больше длины медианы $AM$ ($AD = 2 \cdot AM$). Следовательно, искомая длина медианы $AM$ равна:$AM = \frac{AD}{2} = \frac{\sqrt{17}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{17}}{2}$ см.