Номер 22, страница 6 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

22. Стороны треугольника равны 9 см, 15 см и 16 см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины его наибольшего угла.

22. Стороны треугольника равны 9 см, 15 см и 16 см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины его наибольшего угла.

Пусть дан треугольник со сторонами $a = 9$ см, $b = 15$ см и $c = 16$ см.

Наибольший угол в треугольнике лежит против наибольшей стороны. В данном случае наибольшая сторона равна 16 см. Следовательно, нам нужно найти биссектрису, проведенную из вершины угла, противолежащего этой стороне.

Обозначим стороны, прилежащие к этому углу, как $a = 9$ см и $b = 15$ см, а сторону, к которой проведена биссектриса, как $c = 16$ см. Пусть $l_c$ — искомая биссектриса.

Согласно свойству биссектрисы, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Обозначим эти отрезки как $c_1$ и $c_2$. Тогда:

$\frac{c_1}{c_2} = \frac{a}{b} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$

Также мы знаем, что сумма этих отрезков равна длине всей стороны:

$c_1 + c_2 = c = 16$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} c_1 = \frac{3}{5}c_2 \\ c_1 + c_2 = 16 \end{cases}$

Подставим первое уравнение во второе:

$\frac{3}{5}c_2 + c_2 = 16$

$\frac{8}{5}c_2 = 16$

$c_2 = 16 \cdot \frac{5}{8} = 2 \cdot 5 = 10$ см

Теперь найдем $c_1$:

$c_1 = 16 - c_2 = 16 - 10 = 6$ см

Итак, биссектриса делит сторону длиной 16 см на отрезки 6 см и 10 см.

Длина биссектрисы треугольника ($l_c$), проведенной к стороне $c$, вычисляется по формуле:

$l_c^2 = a \cdot b - c_1 \cdot c_2$

Подставим известные значения в формулу:

$l_c^2 = 9 \cdot 15 - 6 \cdot 10$

$l_c^2 = 135 - 60 = 75$

$l_c = \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$ см

Ответ: $5\sqrt{3}$ см.