Номер 15, страница 5 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

15. Две стороны треугольника относятся как $3 : 5$, а угол между ними равен $120^\circ$. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен $45$ см.

15. Две стороны треугольника относятся как $3 : 5$, а угол между ними равен $120^\circ$. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен $45 \text{ см}$.

Пусть две стороны треугольника, отношение которых известно, равны $a$ и $b$. Согласно условию, $a : b = 3 : 5$. Угол между ними $\gamma = 120^\circ$. Третья сторона пусть будет $c$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длины сторон $a$ и $b$ можно выразить как $a = 3x$ и $b = 5x$.

Для нахождения третьей стороны $c$ воспользуемся теоремой косинусов:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Подставим в формулу известные значения и выражения для сторон:

$c^2 = (3x)^2 + (5x)^2 - 2(3x)(5x) \cos(120^\circ)$

Значение косинуса $120^\circ$ равно $-1/2$. Подставим его в уравнение:

$c^2 = 9x^2 + 25x^2 - 2(15x^2)(-\frac{1}{2})$

$c^2 = 34x^2 + 15x^2$

$c^2 = 49x^2$

$c = \sqrt{49x^2} = 7x$ (длина стороны не может быть отрицательной).

Теперь мы имеем выражения для всех трех сторон треугольника через $x$: $3x$, $5x$ и $7x$.

Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон. По условию, $P = 45$ см.

$P = a + b + c$

$45 = 3x + 5x + 7x$

$45 = 15x$

Теперь найдем значение $x$:

$x = \frac{45}{15} = 3$

Зная коэффициент $x$, можем вычислить длины каждой стороны:

Первая сторона: $a = 3x = 3 \cdot 3 = 9$ см.

Вторая сторона: $b = 5x = 5 \cdot 3 = 15$ см.

Третья сторона: $c = 7x = 7 \cdot 3 = 21$ см.

Ответ: стороны треугольника равны 9 см, 15 см и 21 см.