Номер 13, страница 5 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

13. На сторонах $AB$ и $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) отмечены соответственно такие точки $D$ и $E$, что $BD = 2$ см, $CE = 1$ см. Найдите отрезок $DE$, если $AC = 4$ см, $BC = 2\sqrt{5}$ см.

13. На сторонах $AB$ и $AC$ прямоугольного треугольника $ABC (\angle C = 90^\circ)$ отмечены соответственно такие точки $D$ и $E$, что $BD = 2$ см, $CE = 1$ см. Найдите отрезок $DE$, если $AC = 4$ см, $BC = 2\sqrt{5}$ см.

Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов. Сначала найдем все необходимые для этого элементы.

1. В прямоугольном треугольнике ABC ($\angle C = 90^\circ$) известны катеты $AC = 4$ см и $BC = 2\sqrt{5}$ см. По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы AB:
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
$AB^2 = 4^2 + (2\sqrt{5})^2 = 16 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36$
$AB = \sqrt{36} = 6$ см.

2. Точка D лежит на стороне AB, и по условию $BD = 2$ см. Найдем длину отрезка AD:
$AD = AB - BD = 6 - 2 = 4$ см.

3. Точка E лежит на стороне AC, и по условию $CE = 1$ см. Найдем длину отрезка AE:
$AE = AC - CE = 4 - 1 = 3$ см.

4. Теперь у нас есть треугольник ADE, в котором известны две стороны AD = 4 см и AE = 3 см. Чтобы найти третью сторону DE по теореме косинусов, нам нужно найти косинус угла между известными сторонами, то есть $\cos(\angle A)$.
В прямоугольном треугольнике ABC косинус угла A определяется как отношение прилежащего катета AC к гипотенузе AB:
$\cos(\angle A) = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

5. Применим теорему косинусов к треугольнику ADE:
$DE^2 = AD^2 + AE^2 - 2 \cdot AD \cdot AE \cdot \cos(\angle A)$
Подставим найденные значения:
$DE^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \frac{2}{3}$
$DE^2 = 16 + 9 - 2 \cdot 4 \cdot 2$
$DE^2 = 25 - 16$
$DE^2 = 9$
$DE = \sqrt{9} = 3$ см.

Ответ: 3 см.