Номер 12, страница 5 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

12. Центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$, удалён на 2 см и на 5 см от вершин $B$ и $C$ соответственно. Найдите сторону $BC$, если $\angle A = 60^{\circ}$.

12. Центр окружности, вписанной в треугольник ABC, удалён на 2 см и на 5 см от вершин B и C соответственно. Найдите сторону BC, если $\angle A = 60^\circ$.

Пусть $I$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$ (инцентр). Согласно условию задачи, расстояние от инцентра до вершин $B$ и $C$ составляет $2$ см и $5$ см соответственно. Таким образом, мы имеем длины отрезков $IB = 2$ см и $IC = 5$ см. Также известно, что $\angle A = 60^\circ$.

Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Следовательно, отрезки $BI$ и $CI$ являются биссектрисами углов $\angle B$ и $\angle C$ соответственно. Это означает, что $\angle IBC = \frac{1}{2}\angle B$ и $\angle ICB = \frac{1}{2}\angle C$.

Рассмотрим треугольник $IBC$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:$\angle BIC + \angle IBC + \angle ICB = 180^\circ$Подставив выражения для углов $\angle IBC$ и $\angle ICB$, получим:$\angle BIC + \frac{1}{2}\angle B + \frac{1}{2}\angle C = 180^\circ$Отсюда можно выразить угол $\angle BIC$:$\angle BIC = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle B + \angle C)$

Сумма углов в исходном треугольнике $ABC$ также равна $180^\circ$:$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$Из этого соотношения выразим сумму углов $\angle B + \angle C$:$\angle B + \angle C = 180^\circ - \angle A$

Теперь подставим это выражение в формулу для угла $\angle BIC$:$\angle BIC = 180^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ - \angle A) = 180^\circ - 90^\circ + \frac{1}{2}\angle A = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle A$

Поскольку по условию $\angle A = 60^\circ$, мы можем вычислить точное значение угла $\angle BIC$:$\angle BIC = 90^\circ + \frac{60^\circ}{2} = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ$

Теперь у нас есть треугольник $IBC$, в котором известны две стороны ($IB=2$ и $IC=5$) и угол между ними ($\angle BIC=120^\circ$). Мы можем найти длину третьей стороны $BC$, используя теорему косинусов:$BC^2 = IB^2 + IC^2 - 2 \cdot IB \cdot IC \cdot \cos(\angle BIC)$

Подставим известные значения в формулу:$BC^2 = 2^2 + 5^2 - 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot \cos(120^\circ)$Зная, что $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, продолжаем вычисления:$BC^2 = 4 + 25 - 20 \cdot (-\frac{1}{2})$$BC^2 = 29 + 10$$BC^2 = 39$

Извлекая квадратный корень, находим длину стороны $BC$:$BC = \sqrt{39}$ см.

Ответ: $\sqrt{39}$ см.