Номер 7, страница 4 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

7. Найдите сторону AC треугольника ABC, если:

1) $AB = 4 \text{ см}$, $BC = 7 \text{ см}$, $\angle B = 60^\circ$;

2) $AB = 5\sqrt{2} \text{ см}$, $BC = 4 \text{ см}$, $\angle B = 135^\circ$.

7. Найдите сторону $AC$ треугольника $ABC$, если:

1) $AB = 4$ см, $BC = 7$ см, $\angle B = 60^\circ$;

2) $AB = 5\sqrt{2}$ см, $BC = 4$ см, $\angle B = 135^\circ$.

Для решения данной задачи мы воспользуемся теоремой косинусов. Теорема косинусов утверждает, что квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Для нашего треугольника $ABC$ формула для нахождения стороны $AC$ будет выглядеть так:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)$

1)

Дано: $AB = 4$ см, $BC = 7$ см, $\angle B = 60^\circ$.

Подставим известные значения в формулу теоремы косинусов:

$AC^2 = 4^2 + 7^2 - 2 \cdot 4 \cdot 7 \cdot \cos(60^\circ)$

Мы знаем, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

Выполним вычисления:

$AC^2 = 16 + 49 - 56 \cdot \frac{1}{2}$

$AC^2 = 65 - 28$

$AC^2 = 37$

Следовательно, длина стороны $AC$ равна корню квадратному из 37.

$AC = \sqrt{37}$ см.

Ответ: $\sqrt{37}$ см.

2)

Дано: $AB = 5\sqrt{2}$ см, $BC = 4$ см, $\angle B = 135^\circ$.

Подставим эти значения в формулу теоремы косинусов:

$AC^2 = (5\sqrt{2})^2 + 4^2 - 2 \cdot 5\sqrt{2} \cdot 4 \cdot \cos(135^\circ)$

Мы знаем, что $\cos(135^\circ) = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Выполним вычисления:

$AC^2 = (25 \cdot 2) + 16 - 2 \cdot 5\sqrt{2} \cdot 4 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})$

$AC^2 = 50 + 16 + (40\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

$AC^2 = 66 + \frac{40 \cdot (\sqrt{2})^2}{2}$

$AC^2 = 66 + \frac{40 \cdot 2}{2}$

$AC^2 = 66 + 40$

$AC^2 = 106$

Следовательно, длина стороны $AC$ равна корню квадратному из 106.

$AC = \sqrt{106}$ см.

Ответ: $\sqrt{106}$ см.