Номер 3, страница 4 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

3. Найдите:

1) α, если $ \sin \alpha = \frac{1}{4} $ и $ 0^\circ \le \alpha \le 90^\circ $;

2) $ \sin \alpha $, если $ \cos \alpha = \frac{1}{3} $;

3) $ \cos \alpha $, если $ \sin \alpha = \frac{1}{9} $.

3. Найдите:

1) α, если $\sin\alpha = \frac{1}{4}$ и $0^\circ \le \alpha \le 90^\circ$;

2) $\sin\alpha$, если $\cos\alpha = \frac{1}{3}$;

3) $\cos\alpha$, если $\sin\alpha = \frac{1}{9}$.

1) α, если sin α = 1/4 и 0° ≤ α ≤ 90°;

Для того чтобы найти угол $α$, зная значение его синуса, используется обратная тригонометрическая функция — арксинус ($ \arcsin $).

По условию $ \sin\alpha = \frac{1}{4} $. Так как угол $α$ находится в промежутке $ 0° \le \alpha \le 90° $ (I четверть), решение будет единственным.

Применяя функцию арксинус к обеим частям равенства, получаем:

$ \alpha = \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) $.

Это точное значение угла. Приблизительное значение, вычисленное на калькуляторе, составляет $ \alpha \approx 14.48° $.

Ответ: $ \alpha = \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) $.

2) sin α, если cos α = 1/3;

Для нахождения синуса угла, зная его косинус, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

Из этого тождества выразим $ \sin^2\alpha $:

$ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha $.

Подставим данное значение $ \cos\alpha = \frac{1}{3} $:

$ \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} $.

Теперь извлечем квадратный корень, чтобы найти $ \sin\alpha $:

$ \sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{8}{9}} = \pm\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}} = \pm\frac{\sqrt{4 \cdot 2}}{3} = \pm\frac{2\sqrt{2}}{3} $.

В условии не указано, в какой четверти находится угол $α$, поэтому необходимо учесть оба возможных знака. Если $ \cos\alpha > 0 $, то угол может быть в I или IV четверти. В I четверти синус положителен, а в IV — отрицателен.

Ответ: $ \sin\alpha = \pm\frac{2\sqrt{2}}{3} $.

3) cos α, если sin α = 1/9.

Так же, как и в предыдущем задании, используем основное тригонометрическое тождество: $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

Выразим из тождества $ \cos^2\alpha $:

$ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha $.

Подставим известное значение $ \sin\alpha = \frac{1}{9} $:

$ \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{1}{9}\right)^2 = 1 - \frac{1}{81} = \frac{80}{81} $.

Извлечем квадратный корень для нахождения $ \cos\alpha $:

$ \cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{80}{81}} = \pm\frac{\sqrt{80}}{\sqrt{81}} = \pm\frac{\sqrt{16 \cdot 5}}{9} = \pm\frac{4\sqrt{5}}{9} $.

Поскольку в условии не указана четверть, в которой находится угол $α$, необходимо учесть оба возможных знака. Если $ \sin\alpha > 0 $, то угол может быть в I или II четверти. В I четверти косинус положителен, а во II — отрицателен.

Ответ: $ \cos\alpha = \pm\frac{4\sqrt{5}}{9} $.