Номер 6, страница 4 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

6. Найдите значение выражения, не пользуясь таблицами и калькулятором:

1) $\frac{\sin 34^\circ}{\sin 146^\circ} + \frac{\operatorname{tg} 98^\circ}{\operatorname{tg} 82^\circ}$

2) $\frac{\cos 118^\circ}{\cos 62^\circ} - \frac{\operatorname{ctg} 27^\circ}{\operatorname{ctg} 153^\circ}$

6. Найдите значение выражения, не пользуясь таблицами и калькулятором:

1) $\frac{\sin 34^{\circ}}{\sin 146^{\circ}} + \frac{\text{tg } 98^{\circ}}{\text{tg } 82^{\circ}}$

2) $\frac{\cos 118^{\circ}}{\cos 62^{\circ}} - \frac{\text{ctg } 27^{\circ}}{\text{ctg } 153^{\circ}}$

1) Для нахождения значения выражения $ \frac{\sin{34^\circ}}{\sin{146^\circ}} + \frac{\tg{98^\circ}}{\tg{82^\circ}} $ воспользуемся формулами приведения.

Сначала упростим первое слагаемое $ \frac{\sin{34^\circ}}{\sin{146^\circ}} $. Представим угол в знаменателе как разность: $ 146^\circ = 180^\circ - 34^\circ $.
Применим формулу приведения $ \sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha $.
Получаем: $ \sin{146^\circ} = \sin(180^\circ - 34^\circ) = \sin{34^\circ} $.
Таким образом, первое слагаемое равно: $ \frac{\sin{34^\circ}}{\sin{34^\circ}} = 1 $.

Теперь упростим второе слагаемое $ \frac{\tg{98^\circ}}{\tg{82^\circ}} $. Представим угол в числителе как разность: $ 98^\circ = 180^\circ - 82^\circ $.
Применим формулу приведения $ \tg(180^\circ - \alpha) = -\tg\alpha $.
Получаем: $ \tg{98^\circ} = \tg(180^\circ - 82^\circ) = -\tg{82^\circ} $.
Таким образом, второе слагаемое равно: $ \frac{-\tg{82^\circ}}{\tg{82^\circ}} = -1 $.

Сложим полученные результаты:
$ 1 + (-1) = 0 $.

Ответ: 0

2) Для нахождения значения выражения $ \frac{\cos{118^\circ}}{\cos{62^\circ}} - \frac{\text{ctg}{27^\circ}}{\text{ctg}{153^\circ}} $ также воспользуемся формулами приведения.

Рассмотрим первую дробь (уменьшаемое) $ \frac{\cos{118^\circ}}{\cos{62^\circ}} $. Представим угол в числителе как разность: $ 118^\circ = 180^\circ - 62^\circ $.
Применим формулу приведения $ \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha $.
Получаем: $ \cos{118^\circ} = \cos(180^\circ - 62^\circ) = -\cos{62^\circ} $.
Таким образом, первая дробь равна: $ \frac{-\cos{62^\circ}}{\cos{62^\circ}} = -1 $.

Рассмотрим вторую дробь (вычитаемое) $ \frac{\text{ctg}{27^\circ}}{\text{ctg}{153^\circ}} $. Представим угол в знаменателе как разность: $ 153^\circ = 180^\circ - 27^\circ $.
Применим формулу приведения $ \text{ctg}(180^\circ - \alpha) = -\text{ctg}\alpha $.
Получаем: $ \text{ctg}{153^\circ} = \text{ctg}(180^\circ - 27^\circ) = -\text{ctg}{27^\circ} $.
Таким образом, вторая дробь равна: $ \frac{\text{ctg}{27^\circ}}{-\text{ctg}{27^\circ}} = -1 $.

Выполним вычитание:
$ -1 - (-1) = -1 + 1 = 0 $.

Ответ: 0