Номер 17, страница 5 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

17. Для сторон $a, b$ и $c$ треугольника выполняется равенство $c^2 = a^2 + b^2 + ab\sqrt{3}$. Докажите, что угол, противолежащий стороне $c$, равен $150^\circ$.

17. Для сторон $a$, $b$ и $c$ треугольника выполняется равенство $c^2 = a^2 + b^2 + ab\sqrt{3}$. Докажите, что угол, противолежащий стороне $c$, равен $150^\circ$.

Для доказательства воспользуемся теоремой косинусов, которая устанавливает связь между сторонами треугольника и косинусом одного из его углов.

Теорема косинусов для произвольного треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ и углом $\gamma$, противолежащим стороне $c$, формулируется следующим образом:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

В условии задачи дано равенство, связывающее стороны этого же треугольника:

$c^2 = a^2 + b^2 + ab\sqrt{3}$

Поскольку левые части обоих равенств одинаковы ($c^2$), мы можем приравнять их правые части:

$a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma) = a^2 + b^2 + ab\sqrt{3}$

Теперь упростим полученное уравнение. Вычтем из обеих частей $a^2 + b^2$:

$-2ab \cos(\gamma) = ab\sqrt{3}$

Так как $a$ и $b$ — это длины сторон треугольника, их значения положительны, следовательно, их произведение $ab$ не равно нулю. Мы можем разделить обе части уравнения на $-2ab$:

$\cos(\gamma) = \frac{ab\sqrt{3}}{-2ab}$

$\cos(\gamma) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Нам необходимо найти значение угла $\gamma$. Поскольку $\gamma$ — это угол в треугольнике, его значение должно лежать в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$. В этом интервале косинус равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ для угла $150^\circ$.

Следовательно, угол $\gamma$, противолежащий стороне $c$, равен $150^\circ$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Угол, противолежащий стороне c, равен 150°.