Номер 21, страница 6 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

21. В трапеции ABCD $(AD \parallel BC)$ $AB = 8$ см, $BC = 5$ см, $CD = 10$ см, $AD = 12$ см. Найдите косинус угла A трапеции.

21. В трапеции $ABCD$ ($AD \parallel BC$) $AB = 8$ см, $BC = 5$ см, $CD = 10$ см, $AD = 12$ см. Найдите косинус угла $A$ трапеции.

Для нахождения косинуса угла A в трапеции ABCD, воспользуемся методом проведения высот.

1. Проведем из вершин B и C высоты BH и CK на большее основание AD. Так как $AD \parallel BC$ и $BH \perp AD$, $CK \perp AD$, то четырехугольник BCKH является прямоугольником.

2. Из свойств прямоугольника следует, что $HK = BC = 5$ см.

3. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle CDK$. Пусть длина отрезка $AH$ равна $x$. Тогда длина отрезка $KD$ будет равна разности длин оснований минус отрезок $AH$: $KD = (AD - BC) - AH$. Но поскольку трапеция не равнобедренная, мы выразим $KD$ через общую длину основания AD: $KD = AD - AH - HK = 12 - x - 5 = 7 - x$.

4. Высоты трапеции, проведенные из вершин одного основания, равны, т.е. $BH = CK$. Выразим квадраты высот по теореме Пифагора для каждого из треугольников $\triangle ABH$ и $\triangle CDK$.

- В $\triangle ABH$: $BH^2 = AB^2 - AH^2 = 8^2 - x^2 = 64 - x^2$.

- В $\triangle CDK$: $CK^2 = CD^2 - KD^2 = 10^2 - (7 - x)^2 = 100 - (49 - 14x + x^2) = 51 + 14x - x^2$.

5. Приравняем полученные выражения для квадратов высот:

$64 - x^2 = 51 + 14x - x^2$

6. Решим уравнение относительно $x$:

$64 = 51 + 14x$

$14x = 64 - 51$

$14x = 13$

$x = \frac{13}{14}$

Мы нашли длину отрезка $AH$, то есть $AH = \frac{13}{14}$ см.

7. Косинус угла A трапеции (он же угол $\angle BAH$ в прямоугольном треугольнике $\triangle ABH$) равен отношению прилежащего катета ($AH$) к гипотенузе ($AB$).

$\cos(\angle A) = \frac{AH}{AB} = \frac{13/14}{8} = \frac{13}{14 \cdot 8} = \frac{13}{112}$.

Ответ: $\frac{13}{112}$