Номер 24, страница 6 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

24. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 8 см, а медиана, проведённая к ней, — 6 см. Найдите основание треугольника.

24. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 8 см, а медиана, проведённая к ней, – 6 см. Найдите основание треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB = BC = 8$ см, а $AC$ — основание. Пусть $AM$ — медиана, проведённая из вершины $A$ к боковой стороне $BC$. По условию, длина медианы $AM = 6$ см.

По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $BC$. Следовательно, $BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Рассмотрим треугольник $ABM$. В нём известны длины всех трёх сторон: $AB = 8$ см, $BM = 4$ см, и $AM = 6$ см. Мы можем применить теорему косинусов для этого треугольника, чтобы найти косинус угла $B$. Угол $B$ является углом при вершине равнобедренного треугольника $ABC$.

Согласно теореме косинусов для стороны $AM$ в треугольнике $ABM$:

$AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2 \cdot AB \cdot BM \cdot \cos(\angle B)$

Подставим известные значения в формулу:

$6^2 = 8^2 + 4^2 - 2 \cdot 8 \cdot 4 \cdot \cos(\angle B)$

$36 = 64 + 16 - 64 \cdot \cos(\angle B)$

$36 = 80 - 64 \cdot \cos(\angle B)$

Выразим $64 \cdot \cos(\angle B)$:

$64 \cdot \cos(\angle B) = 80 - 36$

$64 \cdot \cos(\angle B) = 44$

Отсюда находим косинус угла $B$:

$\cos(\angle B) = \frac{44}{64} = \frac{11}{16}$

Теперь рассмотрим исходный равнобедренный треугольник $ABC$. Мы знаем длины двух его сторон ($AB = 8$ см, $BC = 8$ см) и косинус угла между ними ($\cos(\angle B) = \frac{11}{16}$). Чтобы найти длину основания $AC$, снова применим теорему косинусов, на этот раз к треугольнику $ABC$.

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)$

Подставим значения:

$AC^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \frac{11}{16}$

$AC^2 = 64 + 64 - 128 \cdot \frac{11}{16}$

$AC^2 = 128 - 8 \cdot 11$

$AC^2 = 128 - 88$

$AC^2 = 40$

Извлекаем квадратный корень, чтобы найти длину $AC$:

$AC = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$ см.

Ответ: $2\sqrt{10}$ см.