Номер 19, страница 5 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

19. Одна из сторон параллелограмма на 5 см больше другой, а его диагонали равны 17 см и 19 см. Найдите стороны параллелограмма.

19. Одна из сторон параллелограмма на 5 см больше другой, а его диагонали равны 17 см и 19 см. Найдите стороны параллелограмма.

Для решения этой задачи используется свойство параллелограмма, которое связывает его стороны и диагонали. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. Если обозначить смежные стороны как $a$ и $b$, а диагонали как $d_1$ и $d_2$, то формула будет выглядеть так:

$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$

По условию задачи нам дано:

• $d_1 = 17$ см
• $d_2 = 19$ см
• Одна сторона на 5 см больше другой. Пусть меньшая сторона $b = x$ см, тогда большая сторона $a = x + 5$ см.

Подставим эти значения в формулу:

$17^2 + 19^2 = 2((x + 5)^2 + x^2)$

Выполним вычисления:

$289 + 361 = 2(x^2 + 10x + 25 + x^2)$

Упростим уравнение:

$650 = 2(2x^2 + 10x + 25)$

Разделим обе части уравнения на 2:

$325 = 2x^2 + 10x + 25$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2x^2 + 10x + 25 - 325 = 0$

$2x^2 + 10x - 300 = 0$

Для упрощения разделим все уравнение на 2:

$x^2 + 5x - 150 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-150) = 25 + 600 = 625$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{625} = 25$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-5 - 25}{2 \cdot 1} = \frac{-30}{2} = -15$

$x_2 = \frac{-5 + 25}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$

Поскольку длина стороны не может быть отрицательной, корень $x_1 = -15$ не подходит. Значит, меньшая сторона параллелограмма равна 10 см.

$b = 10$ см.

Теперь найдем вторую, большую сторону:

$a = x + 5 = 10 + 5 = 15$ см.

Ответ: стороны параллелограмма равны 10 см и 15 см.