Номер 16, страница 5 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

16. Две стороны треугольника равны 5 см и 7 см, а угол, противолежащий большей из них, — 120°. Найдите третью сторону треугольника.

16. Две стороны треугольника равны 5 см и 7 см, а угол, противолежащий большей из них, — $120^\circ$. Найдите третью сторону треугольника.

Обозначим стороны треугольника как $a$, $b$ и $c$. Согласно условию, две стороны равны 5 см и 7 см. Пусть $a = 5$ см и $b = 7$ см. Угол, противолежащий большей из этих сторон (то есть стороне $b = 7$ см), равен 120°. Обозначим этот угол $\beta$. Таким образом, $\beta = 120^\circ$. Нам необходимо найти длину третьей стороны $c$.

Для нахождения неизвестной стороны треугольника, когда известны две другие стороны и угол между ними или угол, противолежащий одной из известных сторон, можно использовать теорему косинусов.

Теорема косинусов для стороны $b$ записывается следующим образом:

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(\beta)$

Подставим в эту формулу известные нам значения:

$7^2 = 5^2 + c^2 - 2 \cdot 5 \cdot c \cdot \cos(120^\circ)$

Для продолжения вычислений найдем значение $\cos(120^\circ)$. Используя формулу приведения, получаем:

$\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = - \frac{1}{2}$

Теперь подставим это значение в наше уравнение:

$49 = 25 + c^2 - 10c \cdot (-\frac{1}{2})$

$49 = 25 + c^2 + 5c$

Мы получили квадратное уравнение относительно стороны $c$. Приведем его к стандартному виду $Ax^2 + Bx + C = 0$:

$c^2 + 5c + 25 - 49 = 0$

$c^2 + 5c - 24 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = B^2 - 4AC$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два корня, которые мы найдем по формуле $c = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$c = \frac{-5 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{-5 \pm 11}{2}$

Вычислим оба корня:

$c_1 = \frac{-5 + 11}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$c_2 = \frac{-5 - 11}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Так как длина стороны треугольника не может быть отрицательной величиной, корень $c_2 = -8$ не является решением нашей геометрической задачи. Таким образом, единственно возможная длина третьей стороны треугольника составляет 3 см.

Ответ: 3 см.