Номер 26, страница 6 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

26. В треугольнике $ABC$ $AB = 7$ см, $BC = 9$ см. Найдите сторону $AC$ и медиану $BM$, если $BM : AC = 2 : 7$.

26. В треугольнике $ABC$ $AB = 7$ см, $BC = 9$ см. Найдите сторону $AC$ и медиану $BM$, если $BM : AC = 2 : 7$.

Для решения задачи воспользуемся формулой для вычисления длины медианы треугольника. Длина медианы $m_b$, проведенной к стороне $b$ (в нашем случае это сторона $AC$), связана со сторонами треугольника $a$ ($BC$), $c$ ($AB$) и $b$ ($AC$) следующим соотношением:

$m_b^2 = \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4}$

В нашей задаче $a = BC = 9$ см, $c = AB = 7$ см, медиана $m_b = BM$, а сторона $b = AC$. Подставим эти значения в формулу:

$BM^2 = \frac{2 \cdot BC^2 + 2 \cdot AB^2 - AC^2}{4}$
$BM^2 = \frac{2 \cdot 9^2 + 2 \cdot 7^2 - AC^2}{4}$

По условию задачи дано отношение $BM : AC = 2 : 7$. Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длины медианы и стороны можно выразить как:

$BM = 2x$
$AC = 7x$

Теперь подставим эти выражения в формулу для медианы:

$(2x)^2 = \frac{2 \cdot 9^2 + 2 \cdot 7^2 - (7x)^2}{4}$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$4x^2 = \frac{2 \cdot 81 + 2 \cdot 49 - 49x^2}{4}$
$4x^2 = \frac{162 + 98 - 49x^2}{4}$
$4x^2 = \frac{260 - 49x^2}{4}$

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

$16x^2 = 260 - 49x^2$

Перенесем все члены с $x^2$ в левую часть уравнения:

$16x^2 + 49x^2 = 260$
$65x^2 = 260$

Теперь найдем $x^2$:

$x^2 = \frac{260}{65} = 4$

Поскольку $x$ представляет собой коэффициент для длин отрезков, он должен быть положительным:

$x = \sqrt{4} = 2$

Зная значение $x$, мы можем найти искомые длины стороны $AC$ и медианы $BM$:

$AC = 7x = 7 \cdot 2 = 14$ см
$BM = 2x = 2 \cdot 2 = 4$ см

Ответ: $AC = 14$ см, $BM = 4$ см.