Номер 30, страница 6 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

30. Найдите угол C треугольника ABC, если:

1) $AC = 6 \text{ см}$, $AB = 3\sqrt{2} \text{ см}$, $\angle B = 45^\circ$;

2) $AB = 4\sqrt{6} \text{ см}$, $BC = 8 \text{ см}$, $\angle A = 45^\circ$.

Сколько решений в каждом случае имеет задача?

30. Найдите угол $C$ треугольника $ABC$, если:

1) $AC = 6$ см, $AB = 3\sqrt{2}$ см, $\angle B = 45^\circ$;

2) $AB = 4\sqrt{6}$ см, $BC = 8$ см, $\angle A = 45^\circ$.

Сколько решений в каждом случае имеет задача?

1) Для нахождения угла $C$ в треугольнике $ABC$ воспользуемся теоремой синусов:

$\frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)}$

Подставим известные значения: $AC = 6$ см, $AB = 3\sqrt{2}$ см, $\angle B = 45^\circ$.

$\frac{6}{\sin(45^\circ)} = \frac{3\sqrt{2}}{\sin(\angle C)}$

Отсюда выразим $\sin(\angle C)$:

$\sin(\angle C) = \frac{3\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ)}{6}$

Зная, что $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, подставляем это значение в формулу:

$\sin(\angle C) = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{6} = \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

Уравнение $\sin(\angle C) = \frac{1}{2}$ в интервале $(0^\circ, 180^\circ)$ имеет два корня: $\angle C_1 = 30^\circ$ и $\angle C_2 = 150^\circ$.

Проверим, возможно ли существование треугольника для каждого из этих значений. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.

Случай 1: Если $\angle C = 30^\circ$.

Тогда угол $\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ$.

Так как все углы положительны, такой треугольник существует.

Случай 2: Если $\angle C = 150^\circ$.

Тогда угол $\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 45^\circ - 150^\circ = -15^\circ$.

Угол треугольника не может быть отрицательным, следовательно, такой треугольник не существует.

Таким образом, задача имеет только одно решение.

Ответ: $\angle C = 30^\circ$. Задача имеет одно решение.

2) Аналогично первому пункту, воспользуемся теоремой синусов:

$\frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)}$

Подставим известные значения: $AB = 4\sqrt{6}$ см, $BC = 8$ см, $\angle A = 45^\circ$.

$\frac{8}{\sin(45^\circ)} = \frac{4\sqrt{6}}{\sin(\angle C)}$

Выразим $\sin(\angle C)$:

$\sin(\angle C) = \frac{4\sqrt{6} \cdot \sin(45^\circ)}{8}$

Подставляем значение $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$\sin(\angle C) = \frac{4\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{8} = \frac{2\sqrt{12}}{8} = \frac{2 \cdot 2\sqrt{3}}{8} = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Уравнение $\sin(\angle C) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ в интервале $(0^\circ, 180^\circ)$ имеет два корня: $\angle C_1 = 60^\circ$ и $\angle C_2 = 120^\circ$.

Проверим оба случая.

Случай 1: Если $\angle C = 60^\circ$.

Тогда угол $\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ$.

Все углы положительны, такой треугольник существует.

Случай 2: Если $\angle C = 120^\circ$.

Тогда угол $\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 45^\circ - 120^\circ = 15^\circ$.

Все углы положительны, такой треугольник также существует.

Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: $\angle C = 60^\circ$ или $\angle C = 120^\circ$. Задача имеет два решения.