Номер 35, страница 7 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

35. В треугольнике $ABC$ $\angle A = 54^\circ$, $\angle B = 66^\circ$, отрезок $AK$ — высота треугольника. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABK$, если радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен $4\sqrt{3}$ см.

35. В треугольнике $ABC$ $\angle A = 54^{\circ}$, $\angle B = 66^{\circ}$, отрезок $AK$ — высота треугольника. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABK$, если радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен $4\sqrt{3}$ см.

Для нахождения радиуса окружности, описанной около треугольника ABK, выполним следующие действия.

1. Найдем величину третьего угла в треугольнике $ABC$. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$.
$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (54^\circ + 66^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

2. Воспользуемся обобщенной теоремой синусов для треугольника $ABC$. Согласно этой теореме, отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла равно двум радиусам описанной окружности ($R_{ABC}$).
$\frac{AB}{\sin\angle C} = 2R_{ABC}$
Сторона $AB$ является общей для треугольников $ABC$ и $ABK$. Найдем ее длину, зная, что радиус описанной окружности треугольника $ABC$ равен $4\sqrt{3}$ см.
$AB = 2R_{ABC} \cdot \sin\angle C = 2 \cdot 4\sqrt{3} \cdot \sin 60^\circ$.
Так как значение $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$AB = 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = 4 \cdot 3 = 12$ см.

3. Теперь рассмотрим треугольник $ABK$. По условию задачи, $AK$ является высотой, проведенной к стороне $BC$. Это означает, что угол $\angle AKB$ прямой, то есть $\angle AKB = 90^\circ$.
Следовательно, треугольник $ABK$ — прямоугольный, а сторона $AB$ является его гипотенузой.

4. Известно, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится на середине его гипотенузы, а радиус этой окружности ($R_{ABK}$) равен половине длины гипотенузы.
$R_{ABK} = \frac{AB}{2}$.
Подставим найденное значение длины $AB$:
$R_{ABK} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Ответ: 6 см.