Номер 40, страница 7 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

40. Высоты треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если радиус окружности, описанной около треугольника $AHB$, равен 9 см.

40. Высоты треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если радиус окружности, описанной около треугольника $AHB$, равен 9 см.

Пусть $R$ – радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, а $R_{AHB}$ – радиус окружности, описанной около треугольника $AHB$. По условию задачи $R_{AHB} = 9$ см.
Согласно обобщенной теореме синусов, для треугольника $ABC$ справедливо равенство: $ \frac{AB}{\sin(\angle C)} = 2R $, откуда $R = \frac{AB}{2 \sin(\angle C)} $.
Аналогично, для треугольника $AHB$: $ \frac{AB}{\sin(\angle AHB)} = 2R_{AHB} $, откуда $R_{AHB} = \frac{AB}{2 \sin(\angle AHB)} $.
Найдем связь между углами $\angle C$ и $\angle AHB$. Пусть $AA_1$ и $BB_1$ – высоты треугольника $ABC$, проведенные из вершин $A$ и $B$ соответственно. Точка $H$ – ортоцентр, точка пересечения высот. Рассмотрим четырехугольник $CA_1HB_1$. В нем $\angle HA_1C = 90^\circ$ и $\angle HB_1C = 90^\circ$, так как $AA_1$ и $BB_1$ – высоты. Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$, следовательно, $\angle A_1HB_1 + \angle C = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 180^\circ$.
Углы $\angle AHB$ и $\angle A_1HB_1$ являются вертикальными, поэтому $\angle AHB = \angle A_1HB_1$. Отсюда следует, что $\angle AHB = 180^\circ - \angle C$.
Подставим это выражение в формулу для $R_{AHB}$:$ R_{AHB} = \frac{AB}{2 \sin(180^\circ - \angle C)} $.
Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$, получаем:$ R_{AHB} = \frac{AB}{2 \sin(\angle C)} $.
Сравнивая выражения для $R$ и $R_{AHB}$, видим, что $R = R_{AHB}$.
Так как по условию $R_{AHB} = 9$ см, то и радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен 9 см.
Ответ: 9 см.