Номер 37, страница 7 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

37. На рисунке 1 $AB = c, \angle B = 90^\circ,$

$\angle BAC = \alpha, \angle CAD = \beta, \angle D = \gamma.$

Найдите отрезок $AD.$

Рис. 1

37. На рисунке 1 $AB = c$, $\angle B = 90^\circ$, $\angle BAC = \alpha$, $\angle CAD = \beta$, $\angle D = \gamma$.

Найдите отрезок $AD$.

Для решения задачи разобьем ее на два этапа. Сначала найдем длину общего отрезка AC из прямоугольного треугольника ABC, а затем, используя теорему синусов в треугольнике ACD, найдем искомую сторону AD.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. По условию, $\angle B = 90^{\circ}$, катет $AB = c$ и прилежащий к нему острый угол $\angle BAC = \alpha$. Сторона AC является гипотенузой. Согласно определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике: $\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AB}{AC}$ Подставим известные значения и выразим длину гипотенузы AC: $AC = \frac{AB}{\cos(\alpha)} = \frac{c}{\cos(\alpha)}$

2. Рассмотрим треугольник ACD. В этом треугольнике нам известны углы $\angle CAD = \beta$ и $\angle D = \gamma$, а также длина стороны AC, найденная на предыдущем шаге. Чтобы найти длину стороны AD, воспользуемся теоремой синусов, которая гласит, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов: $\frac{AD}{\sin(\angle ACD)} = \frac{AC}{\sin(\angle D)}$ Сумма углов в любом треугольнике равна $180^{\circ}$, поэтому третий угол, $\angle ACD$, можно найти так: $\angle ACD = 180^{\circ} - (\angle CAD + \angle D) = 180^{\circ} - (\beta + \gamma)$ Теперь подставим известные значения в формулу теоремы синусов: $\frac{AD}{\sin(180^{\circ} - (\beta + \gamma))} = \frac{AC}{\sin(\gamma)}$ Применим формулу приведения $\sin(180^{\circ} - x) = \sin(x)$: $\sin(180^{\circ} - (\beta + \gamma)) = \sin(\beta + \gamma)$ Таким образом, соотношение принимает вид: $\frac{AD}{\sin(\beta + \gamma)} = \frac{AC}{\sin(\gamma)}$ Выразим отсюда искомую сторону AD: $AD = AC \cdot \frac{\sin(\beta + \gamma)}{\sin(\gamma)}$

3. Найдем итоговое выражение для AD. Подставим выражение для AC, полученное в первом пункте, в формулу для AD: $AD = \left(\frac{c}{\cos(\alpha)}\right) \cdot \frac{\sin(\beta + \gamma)}{\sin(\gamma)}$ Запишем окончательное выражение в виде одной дроби: $AD = \frac{c \sin(\beta + \gamma)}{\cos(\alpha) \sin(\gamma)}$

Ответ: $AD = \frac{c \sin(\beta + \gamma)}{\cos(\alpha) \sin(\gamma)}$