Номер 31, страница 6 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

31. В треугольнике $ABC$ $AB = 13$ см, $BC = 8$ см. Может ли $\sin A$ быть равным $\frac{2}{3}$?

31. В треугольнике $ABC$ $AB = 13$ см, $BC = 8$ см. Может ли $\sin A$ быть равным $\frac{2}{3}$?

Для того чтобы определить, возможно ли такое значение синуса угла A в заданном треугольнике, воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов для треугольника $ABC$ утверждает, что отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов равны:

$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $$

В нашем случае, сторона $a = BC = 8$ см, а сторона $c = AB = 13$ см. Угол $A$ лежит напротив стороны $BC$, а угол $C$ — напротив стороны $AB$. Применим теорему синусов к этим сторонам и углам:

$$ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C} $$

Предположим, что $\sin A = \frac{2}{3}$. Подставим известные значения в формулу:

$$ \frac{8}{\frac{2}{3}} = \frac{13}{\sin C} $$

Теперь выразим из этого уравнения $\sin C$:

$$ \sin C = \frac{13 \cdot \frac{2}{3}}{8} $$

$$ \sin C = \frac{\frac{26}{3}}{8} = \frac{26}{3 \cdot 8} = \frac{26}{24} $$

Мы получили, что $\sin C$ должен быть равен $\frac{26}{24}$. Однако, мы знаем, что значение синуса любого угла в треугольнике (угол от 0° до 180°) не может быть больше 1. Так как $\frac{26}{24} > 1$, то такое значение для $\sin C$ невозможно.

Это означает, что наше первоначальное предположение о том, что $\sin A$ может быть равен $\frac{2}{3}$, неверно, так как оно приводит к противоречию.

Ответ: нет, не может.