Номер 47, страница 8 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

47. В треугольнике $ABC$ $AB = BC = 6 \text{ см}$, $\angle B = 40^\circ$. Найдите:

1) сторону $AC$;

2) высоту $AD$;

3) медиану $AM$;

4) биссектрису $BK$;

5) радиус описанной окружности треугольника $ABC$;

6) радиус вписанной окружности треугольника $ABC$.

47. В треугольнике $ABC$ $AB = BC = 6$ см, $\angle B = 40^\circ$. Найдите:

1) сторону $AC$;

2) высоту $AD$;

3) медиану $AM$;

4) биссектрису $BK$;

5) радиус описанной окружности треугольника $ABC$;

6) радиус вписанной окружности треугольника $ABC$.

Дан треугольник $ABC$, в котором $AB = BC = 6$ см. Так как две стороны треугольника равны, он является равнобедренным с основанием $AC$. Угол при вершине, противолежащей основанию, $\angle B = 40°$.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180°$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому: $\angle A = \angle C = \frac{180° - \angle B}{2} = \frac{180° - 40°}{2} = \frac{140°}{2} = 70°$.

Для нахождения длины стороны $AC$ воспользуемся теоремой синусов для треугольника $ABC$: $\frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)}$

Подставим известные значения: $\frac{AC}{\sin(40°)} = \frac{6}{\sin(70°)}$

Отсюда выразим $AC$: $AC = \frac{6 \cdot \sin(40°)}{\sin(70°)}$

Используя формулу двойного угла $\sin(40°) = 2\sin(20°)\cos(20°)$ и формулу приведения $\sin(70°) = \sin(90°-20°) = \cos(20°)$, можем упростить выражение: $AC = \frac{6 \cdot 2\sin(20°)\cos(20°)}{\cos(20°)} = 12\sin(20°)$ см.

Вычислим приближенное значение: $AC \approx 12 \cdot 0.3420 \approx 4.104$ см.

Ответ: $AC = 12\sin(20°)$ см $\approx 4.104$ см.

Высота $AD$ — это перпендикуляр, опущенный из вершины $A$ на сторону $BC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADB$, в котором $\angle ADB = 90°$, гипотенуза $AB = 6$ см и $\angle B = 40°$.

Катет $AD$, противолежащий углу $B$, находится по формуле: $AD = AB \cdot \sin(\angle B) = 6\sin(40°)$ см.

Вычислим приближенное значение: $AD \approx 6 \cdot 0.6428 \approx 3.857$ см.

Ответ: $AD = 6\sin(40°)$ см $\approx 3.857$ см.

Медиана $AM$ соединяет вершину $A$ с серединой стороны $BC$. Следовательно, $BM = \frac{BC}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Для нахождения длины медианы $AM$ применим теорему косинусов к треугольнику $ABM$: $AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2 \cdot AB \cdot BM \cdot \cos(\angle B)$ $AM^2 = 6^2 + 3^2 - 2 \cdot 6 \cdot 3 \cdot \cos(40°)$ $AM^2 = 36 + 9 - 36\cos(40°) = 45 - 36\cos(40°)$

$AM = \sqrt{45 - 36\cos(40°)}$ см.

Вычислим приближенное значение: $AM \approx \sqrt{45 - 36 \cdot 0.7660} \approx \sqrt{45 - 27.576} = \sqrt{17.424} \approx 4.174$ см.

Ответ: $AM = \sqrt{45 - 36\cos(40°)}$ см $\approx 4.174$ см.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ биссектриса $BK$, проведенная из вершины $B$ к основанию $AC$, является также медианой и высотой. Поэтому треугольник $ABK$ является прямоугольным ($\angle BKA = 90°$), а угол $\angle ABK = \frac{\angle B}{2} = \frac{40°}{2} = 20°$.

Из прямоугольного треугольника $ABK$ находим катет $BK$: $BK = AB \cdot \cos(\angle ABK) = 6\cos(20°)$ см.

Вычислим приближенное значение: $BK \approx 6 \cdot 0.9397 \approx 5.638$ см.

Ответ: $BK = 6\cos(20°)$ см $\approx 5.638$ см.

Радиус описанной окружности $R$ найдем, используя следствие из теоремы синусов: $R = \frac{AC}{2\sin(\angle B)} = \frac{12\sin(20°)}{2\sin(40°)} = \frac{12\sin(20°)}{2 \cdot 2\sin(20°)\cos(20°)} = \frac{3}{\cos(20°)}$ см.

Можно также использовать другую сторону: $R = \frac{AB}{2\sin(\angle C)} = \frac{6}{2\sin(70°)} = \frac{3}{\sin(70°)}$ см.

Вычислим приближенное значение: $R \approx \frac{3}{0.9397} \approx 3.193$ см.

Ответ: $R = \frac{3}{\sin(70°)}$ см $\approx 3.193$ см.

Радиус вписанной окружности $r$ можно найти по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ - площадь треугольника, а $p$ - его полупериметр.

Найдем площадь $S$: $S = \frac{1}{2}AB \cdot BC \cdot \sin(\angle B) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin(40°) = 18\sin(40°)$ см$^2$.

Найдем полупериметр $p$: $p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{6 + 6 + 12\sin(20°)}{2} = 6 + 6\sin(20°) = 6(1 + \sin(20°))$ см.

Теперь найдем радиус $r$. Удобнее использовать формулу $r = (p-a)\tan(\frac{A}{2})$, где $a = BC = 6$ и $A = 70°$. $p - BC = (6 + 6\sin(20°)) - 6 = 6\sin(20°)$. $\frac{A}{2} = \frac{70°}{2} = 35°$. $r = 6\sin(20°)\tan(35°)$ см.

Вычислим приближенное значение: $r \approx 6 \cdot 0.3420 \cdot 0.7002 \approx 1.437$ см.

Ответ: $r = 6\sin(20°)\tan(35°)$ см $\approx 1.437$ см.