Номер 50, страница 9 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

50. Меньшая сторона треугольника равна 4 см. В треугольник вписана окружность, которая делится точками касания со сторонами на дуги, градусные меры которых относятся как $3 : 8 : 9$. Найдите неизвестные стороны треугольника.

50. Меньшая сторона треугольника равна 4 см. В треугольник вписана окружность, которая делится точками касания со сторонами на дуги, градусные меры которых относятся как $3 : 8 : 9$. Найдите неизвестные стороны треугольника.

Пусть вписанная в треугольник окружность делится точками касания на дуги, градусные меры которых, согласно условию, относятся как $3:8:9$.

Сумма градусных мер дуг полной окружности составляет $360^\circ$. Обозначим коэффициент пропорциональности через $x$. Тогда градусные меры дуг равны $3x$, $8x$ и $9x$. Составим уравнение:

$3x + 8x + 9x = 360^\circ$

$20x = 360^\circ$

$x = 18^\circ$

Таким образом, градусные меры дуг составляют:

$3 \cdot 18^\circ = 54^\circ$

$8 \cdot 18^\circ = 144^\circ$

$9 \cdot 18^\circ = 162^\circ$

Величины углов треугольника ($A$, $B$, $C$) связаны с градусными мерами дуг вписанной окружности, находящихся между точками касания на сторонах этих углов ($\alpha_{\text{дуги}}$), соотношением: $A = 180^\circ - \alpha_{\text{дуги}}$.

Следовательно, углы нашего треугольника равны:

$A = 180^\circ - 54^\circ = 126^\circ$

$B = 180^\circ - 144^\circ = 36^\circ$

$C = 180^\circ - 162^\circ = 18^\circ$

В треугольнике напротив меньшей стороны лежит меньший угол. По условию, меньшая сторона равна 4 см. Это означает, что она лежит напротив наименьшего угла, равного $18^\circ$. Обозначим эту сторону как $c$, тогда $c=4$ см, и угол напротив нее $C = 18^\circ$.

Для нахождения длин двух других сторон, $a$ (напротив угла $A=126^\circ$) и $b$ (напротив угла $B=36^\circ$), применим теорему синусов:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Подставляем известные значения:

$\frac{a}{\sin 126^\circ} = \frac{b}{\sin 36^\circ} = \frac{4}{\sin 18^\circ}$

Вычислим сторону $a$:

$a = \frac{4 \cdot \sin 126^\circ}{\sin 18^\circ}$

Используя тождества $\sin 126^\circ = \sin(180^\circ-54^\circ) = \sin 54^\circ = \cos 36^\circ$, а также известные значения $\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ и $\cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$, получаем:

$a = \frac{4 \cdot \cos 36^\circ}{\sin 18^\circ} = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{5}+1}{4}}{\frac{\sqrt{5}-1}{4}} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{\sqrt{5}-1} = \frac{4(\sqrt{5}+1)^2}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} = \frac{4(\sqrt{5}+1)^2}{4} = (\sqrt{5}+1)^2 = 6+2\sqrt{5}$ см.

Вычислим сторону $b$:

$b = \frac{4 \cdot \sin 36^\circ}{\sin 18^\circ}$

Используя формулу синуса двойного угла $\sin 36^\circ = 2\sin 18^\circ \cos 18^\circ$:

$b = \frac{4 \cdot 2\sin 18^\circ \cos 18^\circ}{\sin 18^\circ} = 8\cos 18^\circ$ см.

Таким образом, длины двух неизвестных сторон равны $6+2\sqrt{5}$ см и $8\cos 18^\circ$ см. (Значение $8\cos 18^\circ$ также можно записать как $2\sqrt{10+2\sqrt{5}}$).

Ответ: $6+2\sqrt{5}$ см и $8\cos 18^\circ$ см.